Considere uma função de duas variáveis definida por f(x,y) = x^2 + y^2. A região R é definida por 9 ≤ x^2 + y^2 ≤ 16. A partir das informações apre...

Para calcular o volume do sólido situado acima da região R e abaixo da função f(x,y), podemos utilizar o conceito de integração dupla. Dado que a função f(x,y) = x^2 + y^2 e a região R é definida por 9 ≤ x^2 + y^2 ≤ 16, podemos reescrever a função como f(x,y) = r^2, onde r é a distância do ponto (x,y) à origem (0,0). A região R é uma coroa circular, com raio interno de 3 e raio externo de 4. Portanto, podemos escrever a integral dupla para calcular o volume do sólido como: V = ∬R f(x,y) dA Onde dA representa o elemento de área infinitesimal na região R. Podemos utilizar coordenadas polares para simplificar a integral. Considerando que x = rcosθ e y = rsenθ, temos: V = ∬R r^2 r dr dθ Integrando em relação a r de 3 a 4 e em relação a θ de 0 a 2π, temos: V = ∫[0,2π] ∫[3,4] r^3 dr dθ Resolvendo as integrais, obtemos: V = (1/4) * (4^4 - 3^4) * 2π V = (1/4) * (256 - 81) * 2π V = (1/4) * 175 * 2π V = 175/2 * π Portanto, o volume do sólido situado acima da região R e abaixo da função f(x,y) é 175/2 * π. A resposta correta é a alternativa C) 243/16.