Consider the relation R defined on the set of natural numbers from 0 to 10 (including 0 and 10), where two numbers are 'close' to each other if the...

(a) A representação gráfica da relação R, restrita apenas aos números naturais de 0 a 10, seria uma representação de um grafo com os números de 0 a 10 como vértices e as arestas representando a relação "próximo". Por exemplo, teríamos uma aresta entre os vértices 3 e 5, mas não teríamos uma aresta entre os vértices 8 e 4. (b) Para provar que R é reflexiva, precisamos mostrar que todo número natural de 0 a 10 está relacionado consigo mesmo. Nesse caso, podemos observar que a diferença absoluta entre qualquer número e ele mesmo é sempre igual a 0, que é menor ou igual a 2. Portanto, R é reflexiva. (c) Para provar que R é simétrica, precisamos mostrar que se um número x está relacionado a um número y, então o número y também está relacionado a x. Nesse caso, podemos observar que se a diferença absoluta entre x e y é menor ou igual a 2, então a diferença absoluta entre y e x também é menor ou igual a 2. Portanto, R é simétrica. (d) Para provar que R é antissimétrica, precisamos mostrar que se um número x está relacionado a um número y e x ≠ y, então o número y não está relacionado a x. Nesse caso, podemos observar que se a diferença absoluta entre x e y é menor ou igual a 2 e x ≠ y, então a diferença absoluta entre y e x também é maior que 2. Portanto, R é antissimétrica. (e) Para provar que R é transitiva, precisamos mostrar que se um número x está relacionado a um número y e y está relacionado a um número z, então x está relacionado a z. Nesse caso, podemos observar que se a diferença absoluta entre x e y é menor ou igual a 2 e a diferença absoluta entre y e z é menor ou igual a 2, então a diferença absoluta entre x e z também é menor ou igual a 2. Portanto, R é transitiva. (f) Para provar que R é uma relação de ordem parcial, precisamos mostrar que R é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Como já provamos que R é reflexiva, antissimétrica e transitiva, podemos concluir que R é uma relação de ordem parcial. (g) Para provar que R é uma relação de equivalência, precisamos mostrar que R é reflexiva, simétrica e transitiva. Como já provamos que R é reflexiva, simétrica e transitiva, podemos concluir que R é uma relação de equivalência.