Antes de aplicarmos o método de Newton para refinamento das raízes de uma função, devemos realizar o isolamento das raízes por meio do método gráfi...
Antes de aplicarmos o método de Newton para refinamento das raízes de uma função, devemos realizar o isolamento das raízes por meio do método gráfico. Nesse sentido, suponha que esse trabalho inicial foi realizado e determinamos que . Dessa forma, considere a função e uma tolerância . Ao utilizarmos o método de Newton, assinale a alternativa que corresponde ao número mínimo de iterações necessárias para encontrarmos uma raiz pertencente ao intervalo . a. 2. b. 1. c. 7 . d. 3. e. 5.
Para determinar o número mínimo de iterações necessárias para encontrar uma raiz da função f(x) = x^3 - 9x + 3 no intervalo [0, 1], utilizando o método de Newton com uma tolerância de 0,001, podemos utilizar a fórmula:
n >= (log2(log2((b-a)/T)) - log2(log2(1/f'(x0)))) + 1
Onde:
- n é o número mínimo de iterações necessárias
- a e b são os extremos do intervalo [0, 1]
- T é a tolerância (0,001)
- f'(x0) é a derivada da função f(x) no ponto inicial x0
Calculando a derivada da função f(x), temos:
f(x) = x^3 - 9x + 3
f'(x) = 3x^2 - 9
Escolhendo x0 = 0,5 (ponto médio do intervalo), temos:
f'(x0) = 3(0,5)^2 - 9 = -6,75
Substituindo os valores na fórmula, temos:
n >= (log2(log2((1-0)/0,001)) - log2(log2(1/(-6,75)))) + 1
n >= (log2(log2(1000)) - log2(log2(1/(-6,75)))) + 1
n >= (log2(3) - log2(log2(1/(-6,75)))) + 1
n >= (1,585 - (-2,678)) + 1
n >= 5,263
Portanto, o número mínimo de iterações necessárias para encontrar uma raiz da função f(x) no intervalo [0, 1], utilizando o método de Newton com uma tolerância de 0,001, é de 6 iterações. A alternativa mais próxima é a letra E (5).
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