A 11- Se dan tres puntos alineados A, B y C. Se trazan las perpendiculares en B y C a la recta ABC. Una recta variable r corta a las perpendiculare...

A 11- Se dan tres puntos alineados A, B y C. Se trazan las perpendiculares en B y C a la recta ABC.
Una recta variable r corta a las perpendiculares en M y M′, de manera que AM  2AM′. Se
proyecta A sobre r en H. Hallar el lugar geométrico de H.
Solución:
A G
E
B FC
r
M
D
M’
H
10 Trazando la bisectriz interior AD del ángulo MAM ′, se tiene que DM
DM ′
 AM
AM ′
 2, luego D
se desplaza a lo largo de la recta DF, paralela a MB y M′C, siendo FB  2FC. Análogamente,
siendo AE la bisectriz exterior de MAM ′, se tiene EM
EM ′
 AM
AM ′
 2, desplazándose E a lo
largo de la recta EG, paralela a DF, siendo GB  2GC. El haz A, MM′DE, cortado por MM′
da la relación MM′DE  −22  −1. Proyectando MM′DE desde la dirección perpendicular
a ABC, se tiene el haz ,BCFG, que cortado por ABC da la relación BCFG  −1. Por tanto,
proyectado desde H, las rectas HF y HG son las bisectrices del triángulo BHC. Luego el ángulo
FHG es recto, por lo que el lugar de H es una circunferencia de diámetro FG.