O professor G. Ninho, depois de formar uma progressão aritmética de 8 termos, começando pelo número 3 e composta apenas de números naturais, notou ...

Para resolver esse problema, vamos analisar as informações fornecidas. Temos uma progressão aritmética de 8 termos, começando pelo número 3 e composta apenas de números naturais. Além disso, o 2º, o 4º e o 8º termos formam uma progressão geométrica. Vamos chamar o primeiro termo da progressão aritmética de "a" e a razão de "r". Portanto, temos a sequência: 3, a + r, a + 2r, a + 3r, a + 4r, a + 5r, a + 6r, a + 7r. Sabemos que o 2º, o 4º e o 8º termos formam uma progressão geométrica. Portanto, podemos escrever a seguinte proporção: (a + r) / 3 = (a + 3r) / (a + 7r) Para simplificar a resolução, vamos multiplicar em cruz: (a + r)(a + 7r) = 3(a + 3r) Resolvendo essa equação, encontramos: a² + 8ar + 7r² = 3a + 9r Organizando os termos: a² + 8ar - 3a + 7r² - 9r = 0 Agora, vamos analisar a soma dos termos da progressão geométrica formada pelo 2º, 4º e 8º termos. Sabemos que a soma dos termos de uma progressão geométrica é dada pela fórmula: S = a * (1 - r^n) / (1 - r) Onde "S" é a soma, "a" é o primeiro termo, "r" é a razão e "n" é o número de termos. Nesse caso, temos: S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) Agora, vamos substituir os valores conhecidos: S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 - r^3) / (1 - r) S = (a + 3r) * (1 -