Sea T : R3[x]→ R2[x] tal que T [p(x)] = p′′(x) + ∫ 1 0 p(x)dx a) Pruebe que T es una tranformación lineal b) Sean B1 = {1, x − 1, (x − 1)2, (x − 1...

a) Para provar que T é uma transformação linear, precisamos mostrar que ela satisfaz as duas propriedades da definição de transformação linear: 1. T(u + v) = T(u) + T(v) para quaisquer u, v em R3[x]. 2. T(cu) = cT(u) para qualquer escalar c e qualquer u em R3[x]. Para a primeira propriedade, temos: T(u + v) = (u + v)′′(x) + ∫1 0 (u + v)(x)dx = u′′(x) + v′′(x) + ∫1 0 u(x)dx + ∫1 0 v(x)dx = T(u) + T(v) Para a segunda propriedade, temos: T(cu) = (cu)′′(x) + ∫1 0 cu(x)dx = c(u′′(x) + ∫1 0 u(x)dx) = cT(u) Portanto, T é uma transformação linear. b) Para determinar [T]B2B1, precisamos calcular T aplicado a cada elemento de B1 e escrever o resultado como uma combinação linear dos elementos de B2. Temos: T(1) = 0 + ∫1 0 1 dx = 1 T(x - 1) = 0 + ∫1 0 (x - 1) dx = -1/2 T((x - 1)^2) = 2 + ∫1 0 (x - 1)^2 dx = 7/3 T((x - 1)^3) = 0 + ∫1 0 (x - 1)^3 dx = -25/4 Portanto, [T]B2B1 = [[1, -1/2, 7/3, -25/4], [0, 0, 0, 0]]. Para obter o núcleo de T, precisamos encontrar as soluções da equação T(p(x)) = 0. Podemos escrever isso como: p′′(x) + ∫1 0 p(x)dx = 0 Podemos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando o método da equação característica. A solução geral é da forma: p(x) = c1 + c2x + c3e^(-x) + c4xe^(-x) Podemos impor a condição adicional de que p(x) pertence a R3[x], o que significa que p(x) é um polinômio de grau no máximo 3. Isso nos dá um sistema de equações lineares para os coeficientes c1, c2, c3 e c4. Resolvendo esse sistema, obtemos: c1 = -1/2 c2 = 0 c3 = 0 c4 = 0 Portanto, o núcleo de T é igual a 〈{−1/2 + x, x^2 − 2x − 4/3}〉.