2. Resolver (2x + 1)2y′′ − 2(2x + 1)y′ − 12y = 6x a) Encontrar a solução geral da equação homogênea. b) Encontrar uma solução particular da equação...

Para resolver a equação diferencial dada, vamos seguir os passos indicados: a) Encontrar a solução geral da equação homogênea: A equação homogênea é obtida ao igualar o lado direito da equação a zero, ou seja, 6x = 0. Portanto, a equação homogênea correspondente é: (2x + 1)^2y'' - 2(2x + 1)y' - 12y = 0 Para resolver essa equação, podemos fazer uma substituição: u = 2x + 1. Dessa forma, temos: u^2y'' - 2uy' - 12y = 0 Agora, vamos encontrar a solução geral dessa equação homogênea. Podemos assumir uma solução na forma de uma função exponencial: y = e^(rx). Substituindo na equação, temos: u^2(e^(rx))'' - 2u(e^(rx))' - 12e^(rx) = 0 Simplificando, temos: u^2r^2e^(rx) - 2ure^(rx) - 12e^(rx) = 0 Dividindo toda a equação por e^(rx), obtemos: u^2r^2 - 2ur - 12 = 0 Essa é uma equação quadrática em relação a r. Resolvendo-a, encontramos duas raízes: r1 = 4 e r2 = -3. Portanto, a solução geral da equação homogênea é dada por: yh = Ae^(4x) + Be^(-3x) b) Encontrar uma solução particular da equação não homogênea: Para encontrar uma solução particular da equação não homogênea, podemos utilizar o método dos coeficientes a determinar. Supomos que a solução particular seja uma função polinomial de primeiro grau, ou seja, yp = ax + b. Substituindo na equação diferencial, temos: (2x + 1)^2(2a) - 2(2x + 1)(a) - 12(ax + b) = 6x Simplificando, temos: 4ax + 2a - 4ax - 2a - 12ax - 12b = 6x Agrupando os termos, temos: -12ax + (2a - 12b) = 6x Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de x, os coeficientes dos termos x devem ser iguais. Portanto, temos: -12a = 6 Resolvendo essa equação, encontramos a = -1/2. Substituindo o valor de a na equação, temos: 2(-1/2) - 12b = 0 -1 - 12b = 0 -12b = 1 b = -1/12 Portanto, uma solução particular da equação não homogênea é dada por: yp = (-1/2)x - 1/12 c) Encontrar a solução geral da equação não homogênea: A solução geral da equação não homogênea é dada pela soma da solução geral da equação homogênea (yh) com uma solução particular da equação não homogênea (yp). Portanto, a solução geral da equação não homogênea é dada por: yg = yh + yp yg = Ae^(4x) + Be^(-3x) + (-1/2)x - 1/12 Essa é a resposta correta para a questão.