Dada a equação x′′ + 4x = 16 sen(2t), com x(0) = 1/2 e x′(0) = −4, determine: (2.a) A solução geral da equação homogênea. a) Encontrar a solução ge...

Para encontrar a solução geral da equação homogênea x'' + 4x = 0, podemos assumir uma solução da forma x = Ae^(rt), onde A e r são constantes a serem determinadas. Substituindo na equação, temos: r^2 e^(rt) + 4Ae^(rt) = 0 Dividindo ambos os lados por e^(rt), obtemos: r^2 + 4A = 0 Portanto, r = ±2i. Assim, a solução geral da equação homogênea é: xh = c1 cos(2t) + c2 sen(2t) Para encontrar a solução particular da equação não homogênea x'' + 4x = 16 sen(2t), podemos assumir uma solução particular da forma xp = At cos(2t) + Bt sen(2t), onde A e B são constantes a serem determinadas. Substituindo na equação, temos: -4At sen(2t) + 4Bt cos(2t) + 4At cos(2t) + 4Bt sen(2t) = 16 sen(2t) Simplificando, temos: (4B - 4A)t sen(2t) + (4A + 4B)t cos(2t) = 16 sen(2t) Igualando os coeficientes, temos: 4B - 4A = 0 4A + 4B = 16 Portanto, A = -B e A = 1. Assim, a solução particular da equação é: xp = -t cos(2t) + 1/4 sen(2t) Portanto, a solução geral da equação é: x(t) = xh + xp = c1 cos(2t) + c2 sen(2t) - t cos(2t) + 1/4 sen(2t) Para analisar o fenômeno para t grande, podemos observar que a solução particular xp tende a zero quando t tende a infinito, enquanto a solução homogênea xh oscila com amplitude constante. Portanto, a solução geral x(t) tende a uma função oscilatória com amplitude constante quando t tende a infinito. Assim, a afirmativa III está correta.