Calcule la integral ∫∫R x(x2 + y2)2 dA donde R = {(x, y) ∈ R2 / x+ y ≥ 2 , x2 + y2 ≤ 2y} Realização de mudança para coordenadas polares Cálculo da...

Para resolver essa integral, é necessário fazer a mudança para coordenadas polares. Substituindo x por rcos(θ) e y por rsen(θ), temos: ∫∫R x(x² + y²)² dA = ∫∫R rcos(θ)[(rcos(θ))² + (rsen(θ))²]² r dA Simplificando, temos: ∫∫R r⁵cos³(θ) dA Agora, precisamos calcular a integral em coordenadas polares. Para isso, vamos integrar primeiro em relação a θ, de 0 a π/2: ∫ de 0 a π/2 ∫ de 2 - θ a √(2sin(θ)) r⁵cos³(θ) dr dθ Integrando em relação a r, temos: ∫ de 0 a π/2 [1/6 (2sin(θ))^(3/2) - 1/6 (2 - θ)^(6/5)]cos³(θ) dθ Resolvendo a integral, obtemos: [1/6 (2)^(3/2) - 1/6 (2)^(6/5)]/4 Portanto, o resultado final é: [√2/18 - 2^(1/5)/18]/4