Exerćıcio 5: Utilizando coordenadas polares, efetue as seguintes integrais duplas abaixo, onde R corresponde ao domı́nio de integração e dA = dx...

(a) Para calcular a integral dupla ∫∫R (1− x² − y²) dA, onde R é um círculo de raio unitário, podemos utilizar coordenadas polares. O domínio de integração R é um círculo de raio unitário, então podemos escrever R em coordenadas polares como 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2π. O elemento de área em coordenadas polares é dado por dA = r dr dθ. Substituindo na integral, temos: ∫∫R (1− x² − y²) dA = ∫₀²π ∫₀¹ (1 - r²) r dr dθ Resolvendo a integral, temos: ∫∫R (1− x² − y²) dA = ∫₀²π [(1/2)r² - (1/4)r⁴] de 0 a 1 dθ ∫∫R (1− x² − y²) dA = π/2 (b) Para calcular a integral dupla ∫∫R (x+ y) dA, onde R = {(x, y) | 1 ≤ x² + y² ≤ 4, x ≤ 0}, podemos utilizar coordenadas polares novamente. O domínio de integração R é um anel com raio interno 1 e raio externo 2, limitado pelo eixo x negativo. Podemos escrever R em coordenadas polares como 1 ≤ r ≤ 2 e -π/2 ≤ θ ≤ 0. O elemento de área em coordenadas polares é dado por dA = r dr dθ. Substituindo na integral, temos: ∫∫R (x+ y) dA = ∫-π/2⁰ ∫₁² (rcosθ + rsinθ) r dr dθ Resolvendo a integral, temos: ∫∫R (x+ y) dA = ∫-π/2⁰ ∫₁² r²cosθ + r²sinθ dr dθ ∫∫R (x+ y) dA = ∫-π/2⁰ [(1/3)r³sinθ - (1/3)r³cosθ] de 1 a 2 dθ ∫∫R (x+ y) dA = 5π/6