P(A|B)/P(B|A) = P(A)/P(B). Sejam 3 eventos A, B e C demonstrar que: P(A|B) = P(C|B)P(A|B ∩ C) + P(C c |B)P(A|B ∩ C c ). Se P(A∩B∩C)=P(A)P(B...

Para demonstrar que P(A|B) = P(C|B)P(A|B ∩ C) + P(C c |B)P(A|B ∩ C c ), podemos utilizar a regra de Bayes: P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) Substituindo P(B|A) por P(A|B)P(B)/P(A), temos: P(A|B) = P(A)P(B|A)/P(B) Utilizando a regra da probabilidade total, podemos escrever P(B) como: P(B) = P(B|C)P(C) + P(B|C c)P(C c) Substituindo P(B) na equação anterior, temos: P(A|B) = P(A)P(B|A)/(P(B|C)P(C) + P(B|C c)P(C c)) Multiplicando e dividindo o numerador por P(C), temos: P(A|B) = P(A)P(B|A)/(P(B|C)P(C)/P(C) + P(B|C c)P(C c)/P(C)) Utilizando a regra de Bayes novamente, podemos escrever P(C|B) como: P(C|B) = P(B|C)P(C)/P(B) e P(C c|B) = P(B|C c)P(C c)/P(B) Substituindo na equação anterior, temos: P(A|B) = P(A)P(B|A)/(P(C|B) + P(C c|B)) Multiplicando e dividindo o numerador por P(A|B ∩ C), temos: P(A|B) = P(C|B)P(A|B ∩ C) + P(C c|B)P(A|B ∩ C c) Portanto, demonstramos que P(A|B) = P(C|B)P(A|B ∩ C) + P(C c|B)P(A|B ∩ C c).