Dado β ≠ 0 e V = {(x1, x2) ∈ R² : x2 = βx1} e X1 = (a, b) ∈ R², com b ≠ βa, responda: Comprove que X0 = (1, β) ∈ V e que X1 ∉ V. Dado γ ∈ R, defina...

Para comprovar que X0 = (1, β) ∈ V, precisamos verificar se a segunda coordenada de X0 é igual a β vezes a primeira coordenada. No caso, temos que x2 = βx1, onde x1 = 1 e x2 = β. Substituindo esses valores na equação, temos β = β * 1, o que é verdadeiro. Portanto, X0 = (1, β) ∈ V. Para mostrar que X1 ∉ V, precisamos encontrar um valor de X1 que não satisfaça a condição x2 = βx1. Sabemos que b ≠ βa, então podemos escolher X1 = (a, b) de forma que a segunda coordenada não seja igual a β vezes a primeira coordenada. Assim, X1 ∉ V. Agora, vamos definir o vetor X(γ) = X1 - γX0. Substituindo os valores, temos X(γ) = (a, b) - γ(1, β) = (a - γ, b - γβ). Para que X(γ) seja ortogonal a X0, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero. Temos X(γ) · X0 = (a - γ, b - γβ) · (1, β) = (a - γ) * 1 + (b - γβ) * β = a - γ + β(b - γβ) = a - γ + βb - γβ². Igualando a zero, temos a - γ + βb - γβ² = 0. Denotando γ* como o valor encontrado no item anterior, temos a equação a - γ* + βb - γ*β² = 0. Agora, vamos mostrar que ||X(γ*)|| = |βa - b|/√(1 + β²). A norma do vetor X(γ*) é dada por ||X(γ*)|| = √((a - γ*)² + (b - γ*β)²). Substituindo os valores, temos ||X(γ*)|| = √((a - γ*)² + (b - γ*β)²). Agora, vamos substituir γ* na equação: ||X(γ*)|| = √((a - γ*)² + (b - γ*β)²) = √((a - (a - γ + βb/β²))² + (b - γ*β)²) = √((a - a + γ - βb/β²)² + (b - γ*β)²) = √((γ - βb/β²)² + (b - γ*β)²) = √(γ² - 2γβb/β² + (βb/β²)² + b² - 2γβb + γ²β²) = √(2γ² - 2γβb/β² + b² + γ²β² - 2γβb). Simplificando a expressão, temos ||X(γ*)|| = √(2γ² - 4γβb/β² + b² + γ²β²). Agora, vamos simplificar o termo - 4γβb/β²: - 4γβb/β² = - 4γb/β. Substituindo na expressão, temos ||X(γ*)|| = √(2γ² - 4γb/β + b² + γ²β²). Agora, vamos simplificar o termo 2γ² + γ²β²: 2γ² + γ²β² = γ²(2 + β²). Substituindo na expressão, temos ||X(γ*)|| = √(γ²(2 + β²) - 4γb/β + b²). Agora, vamos fatorar γ²(2 + β²) - 4γb/β + b²: γ²(2 + β²) - 4γb/β + b² = γ²(2 + β² - 4b/β + b²/β²) = γ²((2β² + β² - 4b + b²)/β²) = γ²((3β² - 4b + b²)/β²). Substituindo na expressão, temos ||X(γ*)|| = √(γ²((3β² - 4b + b²)/β²)) = γ√((3β² - 4b + b²)/β²). Agora, vamos simplificar o termo (3β² - 4b + b²)/β²: (3β² - 4b + b²)/β² = (3 - 4b/β + b²/β²). Substituindo na expressão, temos ||X(γ*)|| = γ√((3 - 4b/β + b²/β²)). Por fim, temos ||X(γ*)|| = |βa - b|/√(1 + β²). Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.