Sea W = {(x, y, z) ∈ R3/2x− y + z = 0}. Demuestre que W es un subespacio vectorial de R3

Para demostrar que W es un subespacio vectorial de R3, debemos verificar dos condiciones: cerrado bajo la suma de vectores y cerrado bajo la multiplicación por un escalar. 1. Cerrado bajo la suma de vectores: Tomemos dos vectores u = (x1, y1, z1) y v = (x2, y2, z2) en W. Esto significa que cumplen la condición 2x - y + z = 0. Para demostrar que W es cerrado bajo la suma, debemos mostrar que la suma de u y v también cumple la condición 2x - y + z = 0. La suma de u y v es (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). Si sustituimos estos valores en la condición, obtenemos: 2(x1 + x2) - (y1 + y2) + (z1 + z2) = 2x1 + 2x2 - y1 - y2 + z1 + z2 Podemos reorganizar esta expresión como: (2x1 - y1 + z1) + (2x2 - y2 + z2) Sabemos que 2x1 - y1 + z1 = 0 (porque u está en W) y 2x2 - y2 + z2 = 0 (porque v está en W). Por lo tanto, la expresión se reduce a: 0 + 0 = 0 Esto demuestra que la suma de u y v también cumple la condición 2x - y + z = 0, por lo tanto, W es cerrado bajo la suma de vectores. 2. Cerrado bajo la multiplicación por un escalar: Tomemos un vector u = (x, y, z) en W y un escalar c. Nuevamente, debemos mostrar que el producto c * u también cumple la condición 2x - y + z = 0. El producto c * u es (cx, cy, cz). Si sustituimos estos valores en la condición, obtenemos: 2(cx) - (cy) + (cz) = 2cx - cy + cz Podemos reorganizar esta expresión como: c(2x - y + z) Sabemos que 2x - y + z = 0 (porque u está en W). Por lo tanto, la expresión se reduce a: c * 0 = 0 Esto demuestra que el producto c * u también cumple la condición 2x - y + z = 0, por lo tanto, W es cerrado bajo la multiplicación por un escalar. Al cumplir ambas condiciones, podemos concluir que W es un subespacio vectorial de R3.