Dada f : R → R, suponha que exista uma constante c > 0 tal que, para quaisquer x, y, vale |f(x) − f(y)| ≤ c|x − y|. Prove que f é contínua.

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Para provar que a função f é contínua, podemos usar a definição de continuidade. Seja ε > 0 um número real positivo. Queremos mostrar que existe δ > 0 tal que, para todo x0 em R, se |x - x0| < δ, então |f(x) - f(x0)| < ε. Dado que |f(x) - f(y)| ≤ c|x - y| para quaisquer x, y em R, podemos substituir y por x0 na desigualdade: |f(x) - f(x0)| ≤ c|x - x0| Agora, vamos escolher δ = ε/c. Se |x - x0| < δ, então temos: |f(x) - f(x0)| ≤ c|x - x0| < c(ε/c) = ε Portanto, para qualquer ε > 0, podemos encontrar um δ > 0 correspondente, mostrando que f é contínua em R. Essa é uma prova direta da continuidade da função f com base na desigualdade dada.