A distância entre ponto e reta é obtida pelo processo de projeção de vetores no espaço. Qual é a distância entre o ponto p(2,3,-1) e a reta r: x=3+...

Para encontrar a distância entre um ponto e uma reta no espaço, podemos usar a fórmula da distância. Nesse caso, temos o ponto P(2,3,-1) e a reta r: x=3+t, y=-2t, z=1-2t. A fórmula da distância entre um ponto e uma reta é dada por: d = |(P - Q) x V| / |V| Onde: - P é o ponto dado (2,3,-1) - Q é um ponto qualquer pertencente à reta (3+t, -2t, 1-2t) - V é o vetor diretor da reta (1, -2, -2) Substituindo os valores na fórmula, temos: d = |(2 - (3+t), 3 - (-2t), -1 - (1-2t)) x (1, -2, -2)| / |(1, -2, -2)| Simplificando, temos: d = |(-1-t, 3+2t, -2+2t) x (1, -2, -2)| / |(1, -2, -2)| Calculando o produto vetorial, temos: d = |(-2t-1, 2t+3, 2t-2) x (1, -2, -2)| / |(1, -2, -2)| d = |(-2, -2t-1, 2t+3) x (1, -2, -2)| / |(1, -2, -2)| d = |(-2(2t+3) - (-2t-1)(-2), (-2t-1)(1) - (-2(2t+3)), (-2t-1)(-2) - (-2(2t+3))| / |(1, -2, -2)| d = |(-4t-6 + 4t+2, -2t-1 + 4t+6, 4t+2 + 4t+6)| / |(1, -2, -2)| d = |(-4, 3, 8)| / |(1, -2, -2)| Calculando as normas dos vetores, temos: d = √((-4)^2 + 3^2 + 8^2) / √(1^2 + (-2)^2 + (-2)^2) d = √(16 + 9 + 64) / √(1 + 4 + 4) d = √(89) / √(9) d = √(89) / 3 Portanto, a distância entre o ponto P(2,3,-1) e a reta r: x=3+t, y=-2t, z=1-2t é √(89)/3.