Calcule a integral ∫ 1 (1 + x2)3 dx fazendo a substituição x = tan t.

Claro! Vamos calcular a integral utilizando a substituição x = tan(t): Primeiro, vamos calcular a derivada de x em relação a t: dx/dt = sec^2(t) Agora, vamos substituir dx na integral: ∫(1/(1 + x^2)^3) dx = ∫(1/(1 + tan^2(t))^3) * sec^2(t) dt Simplificando a expressão dentro da integral: ∫(1/(sec^2(t))^3) * sec^2(t) dt = ∫(1/cos^6(t)) * sec^2(t) dt Agora, vamos simplificar ainda mais a expressão: ∫(1/cos^4(t)) dt = ∫sec^2(t) dt A integral de sec^2(t) é igual a tan(t) + C, onde C é a constante de integração. Portanto, a integral original ∫(1/(1 + x^2)^3) dx, utilizando a substituição x = tan(t), é igual a tan(t) + C. Lembre-se de substituir t de volta para x utilizando a relação x = tan(t) para obter a resposta final.