Questão 2. [2,5 pontos] Seja n ≥ 1. Prove que: (a) [1,25 pontos] 2 3n − 1 é sempre divisível por 7; (b) [1,25 pontos] 2 n + (−1)n+1 é sempre divisí...

Para provar que 2 * 3^n - 1 é sempre divisível por 7, podemos usar o princípio da indução matemática. Passo base: Para n = 1, temos 2 * 3^1 - 1 = 5, que não é divisível por 7. Passo de indução: Suponha que para um certo valor de n, 2 * 3^n - 1 seja divisível por 7. Vamos provar que isso também é verdade para n + 1. Para n + 1, temos 2 * 3^(n+1) - 1 = 2 * 3^n * 3 - 1 = (2 * 3^n - 1) * 3 + 2. Pela suposição de indução, sabemos que 2 * 3^n - 1 é divisível por 7. Além disso, 3 é divisível por 7, pois 3 = 7 - 4. Portanto, (2 * 3^n - 1) * 3 é divisível por 7. Adicionando 2 a um número divisível por 7, ainda obtemos um número divisível por 7. Portanto, 2 * 3^(n+1) - 1 é divisível por 7. Assim, provamos que 2 * 3^n - 1 é sempre divisível por 7 para n ≥ 1. Para provar que 2^n + (-1)^(n+1) é sempre divisível por 3, também podemos usar o princípio da indução matemática. Passo base: Para n = 1, temos 2^1 + (-1)^(1+1) = 2 + (-1) = 1, que não é divisível por 3. Passo de indução: Suponha que para um certo valor de n, 2^n + (-1)^(n+1) seja divisível por 3. Vamos provar que isso também é verdade para n + 1. Para n + 1, temos 2^(n+1) + (-1)^((n+1)+1) = 2^n * 2 + (-1)^(n+2) = 2 * (2^n + (-1)^(n+1)) - 1. Pela suposição de indução, sabemos que 2^n + (-1)^(n+1) é divisível por 3. Multiplicando esse número por 2 e subtraindo 1, ainda obtemos um número divisível por 3. Assim, provamos que 2^n + (-1)^(n+1) é sempre divisível por 3 para n ≥ 1.