Questão 4. [2,5 pontos] Prove que 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + 1 3 · 4 + · · · + 1 (n − 1) · n = n − 1 n , qualquer que seja o número natural n ≥ 2.

Para provar essa igualdade, podemos usar o método de indução matemática. Passo 1: Base da indução Vamos verificar se a igualdade é verdadeira para n = 2. Para n = 2, temos: 1/(1·2) = 1/2 = 1 - 1/2 Portanto, a igualdade é verdadeira para n = 2. Passo 2: Hipótese de indução Assumimos que a igualdade é verdadeira para um número natural k ≥ 2, ou seja: 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + ... + 1/[(k-1)·k] = (k-1)/k Passo 3: Passo de indução Vamos provar que a igualdade também é verdadeira para k+1. Adicionando 1/[(k-1)·k] + 1/(k·(k+1)) em ambos os lados da igualdade, temos: 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + ... + 1/[(k-1)·k] + 1/[(k-1)·k] + 1/(k·(k+1)) = (k-1)/k + 1/(k·(k+1)) Simplificando a expressão, temos: 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + ... + 1/[(k-1)·k] + 1/[(k-1)·k] + 1/(k·(k+1)) = [(k-1)·(k+1) + 1]/[k·(k+1)] Resolvendo a expressão, temos: 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + ... + 1/[(k-1)·k] + 1/[(k-1)·k] + 1/(k·(k+1)) = (k^2 - 1 + 1)/(k·(k+1)) 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + ... + 1/[(k-1)·k] + 1/[(k-1)·k] + 1/(k·(k+1)) = k^2/(k·(k+1)) 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + ... + 1/[(k-1)·k] + 1/[(k-1)·k] + 1/(k·(k+1)) = k/(k+1) Portanto, a igualdade também é verdadeira para k+1. Concluímos que a igualdade é verdadeira para n = 2 e que, se ela for verdadeira para um número natural k ≥ 2, também será verdadeira para k+1. Portanto, a igualdade é válida para qualquer número natural n ≥ 2, como queríamos demonstrar.