Exercício 33 – (IEZZI; MURAKAMI, 2006) Resolva, em ℝ, as inequações: a) (3 − 2????)(4???? + 1)(5???? + 3) ≥ 0 b) (???? − 3)5(2???? + 3)6 < 0 c) (5????+4)(4????+...

Vamos resolver as inequações propostas: a) (3 - 2x)(4x + 1)(5x + 3) ≥ 0 Para resolver essa inequação, devemos encontrar os valores de x que tornam a expressão maior ou igual a zero. Podemos fazer isso analisando os sinais dos fatores envolvidos. - O fator (3 - 2x) será maior ou igual a zero quando 3 - 2x ≥ 0. Resolvendo essa inequação, temos x ≤ 3/2. - O fator (4x + 1) será maior ou igual a zero quando 4x + 1 ≥ 0. Resolvendo essa inequação, temos x ≥ -1/4. - O fator (5x + 3) será maior ou igual a zero quando 5x + 3 ≥ 0. Resolvendo essa inequação, temos x ≥ -3/5. Agora, vamos analisar os sinais dos fatores: - Quando x < -1/4, temos (4x + 1) < 0. Portanto, a expressão será negativa. - Quando -1/4 ≤ x < 3/2, temos (3 - 2x) ≥ 0 e (4x + 1) ≥ 0. Portanto, a expressão será positiva. - Quando x ≥ 3/2, temos (3 - 2x) < 0. Portanto, a expressão será negativa. Portanto, a solução da inequação é x < -1/4 ou -3/5 ≤ x < 3/2. b) (x - 3)5(2x + 3)6 < 0 Para resolver essa inequação, devemos encontrar os valores de x que tornam a expressão menor que zero. Podemos fazer isso analisando os sinais dos fatores envolvidos. - O fator (x - 3) será menor que zero quando x < 3. - O fator (2x + 3) será menor que zero quando -3/2 < x < -3/2. Agora, vamos analisar os sinais dos fatores: - Quando x < -3/2, temos (2x + 3) < 0. Portanto, a expressão será positiva. - Quando -3/2 < x < 3, temos (x - 3) < 0 e (2x + 3) > 0. Portanto, a expressão será negativa. - Quando x > 3, temos (x - 3) > 0. Portanto, a expressão será positiva. Portanto, a solução da inequação é -3/2 < x < 3. c) (5x + 4)(4x + 1)/(5 - 4x) ≥ 0 Para resolver essa inequação, devemos encontrar os valores de x que tornam a expressão maior ou igual a zero. Podemos fazer isso analisando os sinais dos fatores envolvidos. - O fator (5x + 4) será maior ou igual a zero quando 5x + 4 ≥ 0. Resolvendo essa inequação, temos x ≥ -4/5. - O fator (4x + 1) será maior ou igual a zero quando 4x + 1 ≥ 0. Resolvendo essa inequação, temos x ≥ -1/4. - O fator (5 - 4x) será maior ou igual a zero quando 5 - 4x ≥ 0. Resolvendo essa inequação, temos x ≤ 5/4. Agora, vamos analisar os sinais dos fatores: - Quando x < -4/5, temos (5x + 4) < 0. Portanto, a expressão será negativa. - Quando -4/5 ≤ x < -1/4, temos (5x + 4) ≥ 0 e (4x + 1) < 0. Portanto, a expressão será positiva. - Quando -1/4 ≤ x < 5/4, temos (5x + 4) ≥ 0, (4x + 1) ≥ 0 e (5 - 4x) > 0. Portanto, a expressão será negativa. - Quando x ≥ 5/4, temos (5 - 4x) ≥ 0. Portanto, a expressão será positiva. Portanto, a solução da inequação é x < -4/5 ou -1/4 ≤ x < 5/4. d) 4 < x^2 - 12 ≤ 4x Para resolver essa inequação, devemos encontrar os valores de x que satisfazem as duas desigualdades simultaneamente. - A primeira desigualdade, 4 < x^2 - 12, pode ser resolvida somando 12 em ambos os lados, resultando em 16 < x^2. Portanto, temos x > 4 e x < -4. - A segunda desigualdade, x^2 - 12 ≤ 4x, pode ser resolvida subtraindo 4x em ambos os lados, resultando em x^2 - 4x - 12 ≤ 0. Podemos fatorar essa expressão como (x - 6)(x + 2) ≤ 0. Portanto, temos -2 ≤ x ≤ 6. Portanto, a solução da inequação é -2 ≤ x < -4 ou 4 < x ≤ 6. e) 4x^2 - 5x + 4 < 3x^2 - 6x + 6 < x^2 + 3x - 4 Para resolver essa inequação, devemos encontrar os valores de x que tornam a expressão verdadeira. - A primeira desigualdade, 4x^2 - 5x + 4 < 3x^2 - 6x + 6, pode ser simplificada subtraindo 3x^2 - 6x + 6 em ambos os lados, resultando em x^2 + x - 2 < 0. Podemos fatorar essa expressão como (x - 1)(x + 2) < 0. Portanto, temos -2 < x < 1. - A segunda desigualdade, 3x^2 - 6x + 6 < x^2 + 3x - 4, pode ser simplificada subtraindo x^2 + 3x - 4 em ambos os lados, resultando em 2x^2 - 9x + 10 < 0. Essa inequação não possui solução real, pois o discriminante da equação quadrática é negativo. Portanto, a solução da inequação é -2 < x < 1.