(a) Para determinar se existe o limite de g(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0, 0), podemos analisar o comportamento da função ao longo de diferentes trajetórias. Vamos considerar a trajetória y = mx, onde m é uma constante. Substituindo y = mx na expressão de g(x, y), temos: g(x, mx) = x(mx)^4 / (x^2 + (mx)^8) = x^5m^4 / (x^2 + m^8x^8) = x^5m^4 / (1 + m^8x^6) Agora, vamos calcular o limite quando x se aproxima de 0: lim (x,y)→(0,0) g(x, y) = lim x→0 x^5m^4 / (1 + m^8x^6) Observamos que, independentemente do valor de m, o denominador tende a 1 à medida que x se aproxima de 0. No numerador, temos x^5m^4, que também tende a 0 quando x se aproxima de 0. Portanto, podemos concluir que o limite de g(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0, 0) é igual a 0. (b) Para calcular o limite de h(x, y) quando (x, y) se aproxima de (1, 1), podemos substituir esses valores na expressão de h(x, y): h(1, 1) = 1(1 − 1)^2 + (1− 1)^2 / (1− 1)^2 + (1 − 1)^2 = 0/0 Ao substituir os valores, obtemos uma forma indeterminada 0/0. Para calcular esse limite, podemos utilizar técnicas como a regra de L'Hôpital ou a expansão em séries de Taylor. No entanto, como a questão não especifica qual método utilizar, não podemos fornecer uma resposta definitiva. (c) Para que a função f seja contínua em (1, 1), o valor de f(1, 1) deve ser igual ao limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (1, 1). Portanto, precisamos calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (1, 1). No entanto, a expressão de f(x, y) depende das funções g(x, y) e h(x, y), cujos limites já foram calculados. Portanto, podemos substituir os valores encontrados anteriormente: lim (x,y)→(1,1) f(x, y) = lim (x,y)→(1,1) [g(x, y) + h(x, y)] = lim (x,y)→(1,1) g(x, y) + lim (x,y)→(1,1) h(x, y) = 0 + lim (x,y)→(1,1) h(x, y) Novamente, o limite de h(x, y) quando (x, y) se aproxima de (1, 1) não foi fornecido na questão, portanto não podemos determinar o valor de a que tornaria a função f contínua em (1, 1). Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.