5.2. O eixo maciço de raio r está sujeito a um torque T. Determine o raio r’ do núcleo interno do eixo que resista à metade do torque aplicado (T/2...

Para determinar o raio r' do núcleo interno do eixo que resista à metade do torque aplicado (T/2), podemos resolver o problema de duas maneiras: (a) Usando a fórmula da torção: A fórmula da torção relaciona o torque (T), o raio (r) e o ângulo de torção (θ) através da equação T = G * J * θ / L, onde G é o módulo de cisalhamento do material, J é o momento de inércia polar da seção transversal do eixo e L é o comprimento do eixo. Para determinar o raio r', podemos usar a fórmula da torção considerando o torque T/2: T/2 = G * J * θ / L Sabemos que J é proporcional ao raio elevado à quarta potência (J ∝ r^4). Portanto, podemos escrever: (T/2) = G * (π * r'^4 / 2) * θ / L Resolvendo para r', temos: r' = √((2 * T * L) / (G * π * θ)) Substituindo T/2 por T/2 e θ por 1 rad (pois estamos considerando a metade do torque e um ângulo de torção de 1 rad), temos: r' = √((2 * (T/2) * L) / (G * π * 1)) r' = √(T * L / (G * π)) Portanto, o raio r' do núcleo interno do eixo que resiste à metade do torque aplicado é dado por r' = √(T * L / (G * π)). (b) Determinando a resultante da distribuição da tensão de cisalhamento: Para determinar o raio r' usando a distribuição da tensão de cisalhamento, é necessário realizar uma integração da tensão de cisalhamento ao longo do raio do eixo. A fórmula para a tensão de cisalhamento (τ) em um eixo maciço é dada por τ = T * r / J, onde T é o torque aplicado, r é o raio e J é o momento de inércia polar da seção transversal do eixo. Para determinar o raio r' que resiste à metade do torque aplicado, devemos encontrar o raio onde a integral da tensão de cisalhamento ao longo do raio é igual a T/2. A integral da tensão de cisalhamento é dada por: ∫ τ * r * dr = T/2 Substituindo a fórmula da tensão de cisalhamento, temos: ∫ (T * r / J) * r * dr = T/2 Integrando e resolvendo a equação, encontramos: r' = √((2 * T * L) / (π * G)) Portanto, o raio r' do núcleo interno do eixo que resiste à metade do torque aplicado é dado por r' = √((2 * T * L) / (π * G)).