O valor médio de uma função f left parenthesis x comma y right parenthesis é definido por begin inline style 1 over A end style integral integral f...

Para encontrar a temperatura média da placa, precisamos calcular a integral dupla da função de temperatura T(x, y) sobre a área da placa. A função de temperatura é dada por T(x, y) = 20 - 4x^2 - y^2. A área da placa é dada por A = comprimento × largura = 2 × 4 = 8. Agora, podemos calcular a integral dupla da função de temperatura sobre a área da placa: ∬ T(x, y) dA = ∬ (20 - 4x^2 - y^2) dA Como a área da placa é retangular, podemos integrar em relação a x e y: ∬ T(x, y) dA = ∫∫ (20 - 4x^2 - y^2) dx dy Agora, vamos calcular a integral: ∫∫ (20 - 4x^2 - y^2) dx dy = ∫ (20x - (4/3)x^3 - xy^2) dy Integrando em relação a y, considerando os limites de integração da placa (0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4): ∫ (20x - (4/3)x^3 - xy^2) dy = 20xy - (4/3)x^3y - (1/3)xy^3 | de 0 a 4 Agora, substituindo os limites de integração: 20x(4) - (4/3)x^3(4) - (1/3)x(4)^3 - 20x(0) + (4/3)x^3(0) + (1/3)x(0)^3 Simplificando: 80x - (64/3)x^3 - (64/3)x Agora, vamos integrar em relação a x, considerando os limites de integração da placa (0 ≤ x ≤ 2): ∫ (80x - (64/3)x^3 - (64/3)x) dx = 40x^2 - (16/3)x^4 - (32/3)x^2 | de 0 a 2 Substituindo os limites de integração: 40(2)^2 - (16/3)(2)^4 - (32/3)(2)^2 - 40(0)^2 + (16/3)(0)^4 + (32/3)(0)^2 Simplificando: 160 - (64/3)(16) - (32/3)(4) = 160 - (1024/3) - (128/3) = 160 - 1152/3 = 160 - 384 = 224/3 Portanto, a temperatura média da placa é 224/3. Assim, a alternativa correta é a letra c) 224/3.