Se ????(????) = 1 2 ; ????(????) = 1 4 e A e B são mutuamente exclusivos, determine: ????) ????(????̅ ) b) ????(????̅ ) c) ????(???? ∩ ????) d) ????(???? ∪ ????) e) ????(????̅̅...

Para resolver essas questões, vamos utilizar a propriedade de complemento e a propriedade de união de conjuntos mutuamente exclusivos. Primeiro, vamos definir as informações dadas:

• �
• A e �
• B são mutuamente exclusivos, o que significa que não podem ocorrer ao mesmo tempo.
• �(�)=12
• P(A)=2
• 
  
• 1
• ​
• �(�)=14
• P(B)=4
• 
  
• 1
• ​

Vamos usar �′

A′

para representar o complemento de �

A (ou seja, o conjunto de todos os elementos que não estão em �

A).

a) �(�∩�′)

P(A∩B′

) (Probabilidade de ocorrer �

A e não ocorrer �

B):

Como �

A e �

B são mutuamente exclusivos, �∩�=∅

A∩B=∅, o que significa que eles não têm elementos em comum.

�(�∩�′)=�(�)−�(�∩�)

P(A∩B′

)=P(A)−P(A∩B)

�(�∩�′)=12−0

P(A∩B′

)=2

1

​−0 (pois �

A e �

B não têm elementos em comum)

�(�∩�′)=12

P(A∩B′

)=2

1

​

b) �(�′∩�′)

P(A′

∩B′

) (Probabilidade de não ocorrer �

A e não ocorrer �

B):

Isso é o mesmo que a probabilidade de ocorrer o complemento de �

A e o complemento de �

B.

�(�′∩�′)=�(�′)⋅�(�′)

P(A′

∩B′

)=P(A′

)⋅P(B′

) (usando a independência de �′

A′

e �′

B′

)

�(�′∩�′)=(1−�(�))⋅(1−�(�))

P(A′

∩B′

)=(1−P(A))⋅(1−P(B)) (pois �(�′)=1−�(�)

P(A′

)=1−P(A) e �(�′)=1−�(�)

P(B′

)=1−P(B))

�(�′∩�′)=(1−12)⋅(1−14)

P(A′

∩B′

)=(1−2

1

​)⋅(1−4

1

​)

�(�′∩�′)=12⋅34

P(A′

∩B′

)=2

1

​⋅4

3

​

�(�′∩�′)=38

P(A′

∩B′

)=8

3

​

c) �(�∩�)

P(A∩B) (Probabilidade de ocorrer �

A e ocorrer �

B):

Como �

A e �

B são mutuamente exclusivos, �∩�=∅

A∩B=∅, o que significa que eles não podem ocorrer juntos.

�(�∩�)=0

P(A∩B)=0

d) �(�∪�)

P(A∪B) (Probabilidade de ocorrer �

A ou ocorrer �

B):

Para calcular a probabilidade de que pelo menos um dos eventos �

A ou �

B ocorra, podemos usar a seguinte fórmula:

�(�∪�)=�(�)+�(�)−�(�∩�)

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

No entanto, como já determinamos que �(�∩�)=0

P(A∩B)=0 devido à exclusividade mútua, a fórmula se simplifica:

�(�∪�)=�(�)+�(�)

P(A∪B)=P(A)+P(B)

�(�∪�)=12+14

P(A∪B)=2

1

​+4

1

​

�(�∪�)=34

P(A∪B)=4

3

​

e) �(�′∩�′∩�′)

P(A′

∩B′

∩A′

) (Probabilidade de não ocorrer �

A e não ocorrer �

B e não ocorrer �

A):

O complemento de �

A é �′

A′

, então o complemento de �′

A′

é �

A. Portanto, �′∩�=∅

A′

∩A=∅, pois um evento e seu complemento são mutuamente exclusivos.

�(�′∩�′∩�′)=0

P(A′

∩B′

∩A′

)=0

Portanto, as respostas são:

a) 12

2

1

​

b) 38

8

3

​

c) 0

d) 34

4

3

​

e) 0