jetiva se, e somente se, existe uma função g : Y → X tal que f(g(y)) = y para todo y ∈ Y .

Suponhamos que f é sobrejetiva. Então, para cada y ∈ Y , f−1({y}) 6= ∅.
Tome um elemento de f−1({y}) e o denote por xy (Observemos que f−1({y}) pode conter mais de um elemento, pois f não é necessariamente injetiva).
Defina a função g : Y → X da seguinte forma:

g(y) = xy (y ∈ Y ).

Note que, para cada y ∈ Y , temos que f(g(y)) = f(xy) = y. Reciprocamente, suponhamos que existe uma função g : Y → X tal que f(g(y)) = y para todo y ∈ Y . Para mostrarmos que f é sobrejetiva, devemos mostrar que Y ⊂ f(X). Tome, então, y ∈ Y . Escreva x = g(y). Então x ∈ X e y = f(g(y)) = f(x), mostrando que y ∈ f(X).

(b) Vamos mostrar que f é injetiva se, e somente se, existe uma função g : Y → X tal que g(f(x)) = x para todo x ∈ X.

Suponhamos que f é injetiva. Então, para cada y ∈ f(X), existe um único x ∈ X tal que f(x) = y. Considere x0 um elemento de X. Defina a função g : Y → X da seguinte forma:

g(y) = x, se y ∈ f(X) e g(y) = x0, se y ∈ Y \ f(X).

Note que, para cada x ∈ X, g(f(x)) = g(y) = x. Reciprocamente, supo- nhamos que existe uma função g : Y → X tal que g(f(x)) = x para todo x ∈ X. Tome x1 e x2 em X tais que f(x1) = f(x2). Então, x1 = g(f(x1)) = g(f(x2)) = x2. Isto mostra a injetividade de f .


(a) Vamos mostrar que f é sobrejetiva se, e somente se, existe uma função g : Y → X tal que f(g(y)) = y para todo y ∈ Y .
(b) Vamos mostrar que f é injetiva se, e somente se, existe uma função g : Y → X tal que g(f(x)) = x para todo x ∈ X.
(c) Vamos provar que se f : X → Y é injetiva, então f(A)∩f(B) ⊂ f(A∩B) para quaisquer A e B em X.