Uma partícula de massa m e carga negativa - q está vinculada a mover-se sobre a mediatriz do segmento que liga duas cargas positivas + Q, separadas...

Para mostrar que a partícula executa um movimento harmônico simples em torno do centro, podemos utilizar a Lei de Coulomb e a Segunda Lei de Newton. Primeiro, vamos considerar a força elétrica entre a partícula de carga negativa e uma das cargas positivas. A força elétrica é dada por: F = k * (q * Q) / r² Onde: - F é a força elétrica entre as cargas - k é a constante eletrostática (k = 1 / (4πε)) - q é a carga da partícula negativa - Q é a carga das cargas positivas - r é a distância entre as cargas Agora, vamos analisar a força resultante na partícula. Como a partícula está vinculada a mover-se sobre a mediatriz do segmento, a força resultante é a componente radial da força elétrica. Essa componente é dada por: F_r = F * cos(θ) Onde θ é o ângulo entre a força elétrica e a direção radial. Agora, vamos aplicar a Segunda Lei de Newton para a partícula: F_r = m * a_r Onde: - m é a massa da partícula - a_r é a aceleração radial da partícula Substituindo a expressão da força radial e rearranjando a equação, temos: m * a_r = F * cos(θ) Agora, vamos substituir a expressão da força elétrica: m * a_r = (k * (q * Q) / r²) * cos(θ) Como a partícula está próxima do centro do segmento (y << d), podemos considerar que o ângulo θ é pequeno e, portanto, podemos aproximar o cos(θ) por 1. Assim, a equação fica: m * a_r ≈ (k * (q * Q) / r²) Agora, vamos relacionar a aceleração radial com a aceleração angular (a) e o raio (r): a_r = a * r Substituindo na equação anterior, temos: m * a * r = (k * (q * Q) / r²) Simplificando a expressão, temos: a = (k * (q * Q) / (m * r³)) A aceleração angular (α) é dada por: α = a / r Substituindo a expressão da aceleração, temos: α = (k * (q * Q) / (m * r³)) / r Simplificando a expressão, temos: α = (k * (q * Q) / (m * r⁴)) A frequência angular (ω) é dada por: ω = √(α / I) Onde I é o momento de inércia da partícula em relação ao centro do segmento. Como a partícula está vinculada a mover-se sobre a mediatriz, podemos considerar que o momento de inércia é dado por: I = m * r² Substituindo na expressão da frequência angular, temos: ω = √((k * (q * Q) / (m * r⁴)) / (m * r²)) Simplificando a expressão, temos: ω = √((k * (q * Q)) / (m * r⁶)) Substituindo o valor de k (k = 1 / (4πε)), temos: ω = √((1 / (4πε)) * (q * Q) / (m * r⁶)) Simplificando a expressão, temos: ω = √((q * Q) / (4πε * m * r⁶)) Finalmente, substituindo o valor de ε (ε = 8,85 x 10⁻¹² C²/N.m²) e rearranjando a expressão, temos: ω = √((q * Q) / (4π * 8,85 x 10⁻¹² * m * r⁶)) Portanto, a frequência angular de oscilação é dada por ω = √((q * Q) / (4π * 8,85 x 10⁻¹² * m * r⁶)).