Y" + 9y = sen(2x) encontre a solução da equação diferencial?

Para resolver essa equação diferencial, podemos começar isolando o termo com a função seno: Y + 9y = sen(2x) Agora, podemos reescrever a função seno em termos de exponenciais complexas usando a identidade de Euler: sen(2x) = (e^(2ix) - e^(-2ix)) / (2i) Substituindo na equação diferencial, temos: Y + 9y = (e^(2ix) - e^(-2ix)) / (2i) Agora, podemos multiplicar toda a equação por 2i para eliminar o denominador: 2iY + 18iy = e^(2ix) - e^(-2ix) Agora, podemos agrupar os termos com Y e y: (2iY) + (18iy) = e^(2ix) - e^(-2ix) Agora, podemos integrar ambos os lados da equação em relação a x. A integral de e^(2ix) é (1/2i)e^(2ix) e a integral de e^(-2ix) é (-1/2i)e^(-2ix): ∫(2iY) dx + ∫(18iy) dx = ∫(e^(2ix) - e^(-2ix)) dx 2iYx + 18iyx = (1/2i)e^(2ix) - (-1/2i)e^(-2ix) + C Simplificando a equação, temos: 2iYx + 18iyx = (1/2i)e^(2ix) + (1/2i)e^(-2ix) + C Agora, podemos reescrever a solução em termos de funções trigonométricas usando as identidades de Euler: 2iYx + 18iyx = (1/2i)(cos(2x) + isen(2x)) + (1/2i)(cos(-2x) + isen(-2x)) + C Simplificando ainda mais, temos: 2iYx + 18iyx = (1/2i)(cos(2x) + isen(2x) + cos(2x) - isen(2x)) + C 2iYx + 18iyx = (1/2i)(2cos(2x)) + C Agora, podemos dividir toda a equação por 2i para isolar Y: Yx + 9yx = (1/4)(cos(2x)) + C/(2i) Finalmente, a solução da equação diferencial é: Y(x) = (1/4)(cos(2x)) + C/(2i) - 9yx Espero que isso ajude! Se você tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.