17. Utilizando a relação senx = x+ o(x2), calcule (a) lim x→0 senx− x/x2 (b) lim x→0+ senx− x2/x2 (a) lim x→0 senx− x/x2 (b) lim x→0+ senx− x2/x2

(a) Para calcular o limite de lim x→0 senx− x/x2, podemos substituir a relação senx = x+ o(x2) na expressão: lim x→0 senx− x/x2 = lim x→0 (x+ o(x2) - x)/x2 = lim x→0 o(x2)/x2 = lim x→0 1 = 1 (b) Para calcular o limite de lim x→0+ senx− x2/x2, podemos usar a expansão em série de Taylor da função seno: senx = x - x^3/3! + x^5/5! - ... Substituindo na expressão, temos: lim x→0+ senx− x2/x2 = lim x→0+ (x - x^3/3! + x^5/5! - ... - x^2)/x^2 = lim x→0+ (1/x - x/3! + x^3/5! - ... - 1)/x = lim x→0+ (1 - x^2/3! + x^4/5! - ... - x)/x = lim x→0+ (1 - x^2/3! + x^4/5! - ...) - 1/x Como x→0+, a série dentro do parênteses converge para o valor de cos(0) = 1. Portanto, o limite é: lim x→0+ senx− x2/x2 = 1 - lim x→0+ 1/x = 1 - ∞ = -∞