Escolha o método e estude o sinal da expressão E(x) = |x^3 - x^2| - 2|1 - x|/(x^2 + 3x - 1/2). I - E(x) > 0, ∀x < -1/2. II - E(x) < 0, ∀x ∈ (-1/2,...

Para estudar o sinal da expressão E(x) = |x^3 - x^2| - 2|1 - x|/(x^2 + 3x - 1/2), podemos utilizar o método da análise de intervalos e o método da secção áurea. a) Método da análise de intervalos: Para estudar o sinal da expressão usando o método da análise de intervalos, devemos encontrar os pontos críticos da função, que são os valores de x que tornam E(x) igual a zero ou indefinido. Para isso, devemos resolver as equações |x^3 - x^2| - 2|1 - x|/(x^2 + 3x - 1/2) = 0 e x^2 + 3x - 1/2 = 0. |x^3 - x^2| - 2|1 - x|/(x^2 + 3x - 1/2) = 0 x^2(x - 1) - 2|1 - x|/(x^2 + 3x - 1/2) = 0 2|1 - x| = x^2(x - 1)(x^2 + 3x - 1/2) Para resolver essa equação, devemos considerar os casos em que 1 - x é positivo e negativo. Caso 1: 1 - x > 0 2(1 - x) = x^2(x - 1)(x^2 + 3x - 1/2) 2 - 2x = x^2(x - 1)(x^2 + 3x - 1/2) x^5 + 3x^4 - 5x^3 - 11x^2 + 8x + 4 = 0 Resolvendo essa equação, encontramos que x = -1, x = -0,5 e x = 1 são pontos críticos da função. Caso 2: 1 - x < 0 2(x - 1) = x^2(x - 1)(x^2 + 3x - 1/2) 2 - 2x = x^2(x - 1)(x^2 + 3x - 1/2) x^5 + 3x^4 - 5x^3 - 11x^2 + 8x + 4 = 0 Resolvendo essa equação, encontramos que x = -1, x = -0,5 e x = 1 são pontos críticos da função. Agora, podemos dividir o domínio da função em três intervalos: (-∞, -1), (-1, -0,5) e (-0,5, ∞). Em cada intervalo, devemos testar o sinal da função para determinar se E(x) é positivo ou negativo. Intervalo (-∞, -1): Escolhendo um valor de x nesse intervalo, por exemplo x = -2, temos: E(-2) = |-8 - 4| - 2|3|/(-11/2) = 20/11 > 0 Portanto, a alternativa I está incorreta. Intervalo (-1, -0,5): Escolhendo um valor de x nesse intervalo, por exemplo x = -0,6, temos: E(-0,6) = |-0,216 - 2,2| - 2|1,6|/(2,1) = -0,8 < 0 Portanto, a alternativa II está correta. Intervalo (-0,5, ∞): Escolhendo um valor de x nesse intervalo, por exemplo x = 2, temos: E(2) = |8 - 4| - 2|-1|/(13/2) = 6/13 > 0 Portanto, a alternativa III está incorreta. Assim, a alternativa correta é a letra b) Estudar o sinal da expressão usando o método da secção áurea. b) Método da secção áurea: O método da secção áurea consiste em encontrar os pontos críticos da função e dividir o domínio da função em intervalos de acordo com esses pontos. Em cada intervalo, devemos testar o sinal da função para determinar se E(x) é positivo ou negativo. Os pontos críticos da função são os mesmos encontrados no método da análise de intervalos: x = -1, x = -0,5 e x = 1. Dividindo o domínio da função em intervalos de acordo com esses pontos, temos: (-∞, -1), (-1, -0,5), (-0,5, 1) e (1, ∞). Em cada intervalo, devemos testar o sinal da função para determinar se E(x) é positivo ou negativo. Intervalo (-∞, -1): Escolhendo um valor de x nesse intervalo, por exemplo x = -2, temos: E(-2) = |-8 - 4| - 2|3|/(-11/2) = 20/11 > 0 Portanto, a alternativa I está incorreta. Intervalo (-1, -0,5): Escolhendo um valor de x nesse intervalo, por exemplo x = -0,6, temos: E(-0,6) = |-0,216 - 2,2| - 2|1,6|/(2,1) = -0,8 < 0 Portanto, a alternativa II está correta. Intervalo (-0,5, 1): Escolhendo um valor de x nesse intervalo, por exemplo x = 0,5, temos: E(0,5) = |-0,125 - 0,6| - 2|0,5|/(1,25) = -0,16 < 0 Portanto, a alternativa III está correta. Intervalo (1, ∞): Escolhendo um valor de x nesse intervalo, por exemplo x = 2, temos: E(2) = |8 - 4| - 2|-1|/(13/2) = 6/13 > 0 Portanto, a alternativa IV está incorreta. Assim, a alternativa correta é a letra b) Estudar o sinal da expressão usando o método da secção áurea.