Uma aplicação das integrais é o cálculo do volume de sólidos de rotação. Se f(x) = x³ + 1, qual será o volume do sólido gerado pela revolução, em t...

Para calcular o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [0, 1], podemos utilizar o método de discos ou método de cascas. Método dos discos: - Área da base do disco: πr² - r = f(x) - dx é a espessura do disco - Intervalo de integração: [0, 1] Assim, temos: V = ∫[0,1] π(f(x))² dx V = ∫[0,1] π(x³ + 1)² dx V = π ∫[0,1] (x^6 + 2x³ + 1) dx V = π [(1/7)x^7 + (1/2)x^4 + x] [0,1] V = π [(1/7) + (1/2) + 1] - 0 V = (9/14)π Portanto, o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [0, 1], é (9/14)π.