Temos que f′(x) = 2x, se x < 1 / 2, se x > 1. Ainda, f′+(1) = f′−(1) = f′(1) = 2. Daí, f´é derivável e contínua em R. Logo, f´é derivável em (0,2)...

A função f(x) é definida como f(x) = x², para x < 1/2 e f(x) = 1, para x > 1. A partir dessa definição, podemos calcular a derivada f'(x) = 2x, para x < 1/2 e f'(x) = 0, para x > 1. Além disso, temos que f'+(1) = f'- (1) = f'(1) = 2, o que significa que a função é derivável à direita e à esquerda em x = 1, e a sua derivada é igual a 2 nesse ponto. Com essas informações, podemos concluir que f'(x) é derivável em todo o seu domínio, incluindo o intervalo (0,2), e é contínua em [0,2].