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Considere as seguintes asserções e a relação proposta entre elas: Ι. O polinômio f(x)=5x+7x+-49x3 + 14x2 - 7x + 21 é irredutível sobre Q. PORQUE II...

Considere as seguintes asserções e a relação proposta entre elas:

Ι.

O polinômio f(x)=5x+7x+-49x3 + 14x2 - 7x + 21 é irredutível sobre Q.

PORQUE

II. Utilizando o critério de Eisenstein, concluimos que f(x) é irredutivel sobre Z.

A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.

💡 1 Resposta

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As asserções I e II são verdadeiras e a II é uma justificativa correta da I. O critério de Eisenstein é uma condição suficiente para um polinômio ser irredutível em um anel de polinômios. Se um polinômio satisfaz as condições do critério de Eisenstein, então ele é irredutível no anel de polinômios correspondente. No caso do polinômio f(x) = 5x + 7x - 49x³ + 14x² - 7x + 21, podemos aplicar o critério de Eisenstein com o primo p = 7. Se substituirmos x por x + 1, obtemos o polinômio g(x) = 5(x+1) + 7(x+1) - 49(x+1)³ + 14(x+1)² - 7(x+1) + 21 = 5x - 42x² - 28x³. Como 7 divide todos os coeficientes, exceto o coeficiente líder (-28), e 7² não divide o coeficiente líder, então pelo critério de Eisenstein, f(x) é irredutível sobre Z e, portanto, também é irredutível sobre Q.

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