O assunto de limite estudado até o momento terá grande participação na análise do comportamento gráfico das funções. As duas principais utilizações...

Vamos lá! Para encontrar as assíntotas horizontais, precisamos calcular o limite da função quando x tende a mais ou menos infinito. lim f(x) quando x tende a +infinito = lim (3x^3 - 4x^2 + 2)/(1 - x^3) quando x tende a +infinito Podemos aplicar a regra de L'Hôpital, derivando o numerador e o denominador em relação a x: lim f(x) quando x tende a +infinito = lim (9x^2 - 8x)/(3x^2) quando x tende a +infinito Dividindo o numerador e o denominador por x^2, temos: lim f(x) quando x tende a +infinito = lim (9 - 8/x)/(3) quando x tende a +infinito Como x tende a infinito, o termo 8/x tende a zero, e temos: lim f(x) quando x tende a +infinito = 3 Repetindo o processo para x tendendo a -infinito, encontramos o mesmo resultado: lim f(x) quando x tende a -infinito = 3 Portanto, a função tem uma assíntota horizontal no ponto y=3. Para encontrar as assíntotas verticais, precisamos verificar o comportamento da função nos pontos de descontinuidade. No caso da função dada, temos uma descontinuidade em x=1, pois o denominador se anula nesse ponto. Para verificar o comportamento da função nesse ponto, precisamos calcular os limites laterais: lim f(x) quando x tende a 1- = lim (3x^3 - 4x^2 + 2)/(1 - x^3) quando x tende a 1- Podemos substituir diretamente o valor de x=1 nessa expressão: lim f(x) quando x tende a 1- = (3 - 4 + 2)/(1 - 1) = -3 lim f(x) quando x tende a 1+ = lim (3x^3 - 4x^2 + 2)/(1 - x^3) quando x tende a 1+ Novamente, podemos aplicar a regra de L'Hôpital: lim f(x) quando x tende a 1+ = lim (9x^2 - 8x)/(3x^2) quando x tende a 1+ lim f(x) quando x tende a 1+ = lim (9 - 8/x)/(3) quando x tende a 1+ lim f(x) quando x tende a 1+ = 1/3 Portanto, a função tem uma assíntota vertical no ponto x=1, com valor y=-3 no lado esquerdo e valor y=1/3 no lado direito.