Duas duplicatas, uma de $ 25.000,00 e 18 dias até o vencimento, outra de $ 32.000,00 e 38 dias até o vencimento, foram descontadas em um banco: a ...

a) O valor líquido é a soma dos valores das duplicatas descontados menos os juros. Para a primeira duplicata, temos: Valor descontado = 25.000 / (1 + 0,03 * 18/30) = 24.087,91 Juros = 25.000 - 24.087,91 = 912,09 Para a segunda duplicata, temos: Valor descontado = 32.000 / (1 + 0,04 * 38/30) = 30.947,87 Juros = 32.000 - 30.947,87 = 1.052,13 Portanto, o valor líquido é a soma dos valores descontados menos os juros: 24.087,91 + 30.947,87 - 912,09 - 1.052,13 = 53.071,56 b) O prazo médio do borderô é dado por: (prazo x valor) / total do valor descontado Para a primeira duplicata, temos: (18 x 25.000) / 24.087,91 = 14,83 dias Para a segunda duplicata, temos: (38 x 32.000) / 30.947,87 = 39,28 dias Portanto, o prazo médio do borderô é a soma dos prazos ponderados: (14,83 x 24.087,91 + 39,28 x 30.947,87) / (24.087,91 + 30.947,87) = 31,68 dias c) Para encontrar a taxa constante que deveríamos descontar o total do borderô, no seu prazo médio, para obtermos o valor líquido do item a, podemos utilizar a fórmula: Valor líquido = Valor nominal / (1 + taxa * prazo médio) Substituindo pelos valores encontrados, temos: 53.071,56 = (25.000 + 32.000) / (1 + taxa * 31,68) 1 + taxa * 31,68 = (25.000 + 32.000) / 53.071,56 taxa = (57.000 / 53.071,56 - 1) / 31,68 taxa = 0,0359 ou 3,59% a.m. (aproximadamente) Portanto, a taxa constante que deveríamos descontar o total do borderô, no seu prazo médio, para obtermos o valor líquido do item a é de aproximadamente 3,59% a.m.

Para resolver esse problema, vamos calcular o valor líquido de cada duplicata individualmente, depois calcular o valor líquido total e, por fim, determinar a taxa constante de desconto que nos daria o mesmo valor líquido.

a) Valor Líquido:

Para a primeira duplicata:

Valor Nominal (VN1) = $25.000,00

Taxa de Desconto (TD1) = 3% ao mês

Para a segunda duplicata:

Valor Nominal (VN2) = $32.000,00

Taxa de Desconto (TD2) = 4% ao mês

Vamos calcular o valor líquido de cada duplicata:

Valor Líquido (VL1) = VN1 / (1 + TD1)^(n1/30), onde n1 é o prazo em dias

VL1 = 25.000 / (1 + 0,03)^(18/30)

VL1 = 25.000 / (1 + 0,03)^(0,6)

VL1 ≈ 24.125,38

Valor Líquido (VL2) = VN2 / (1 + TD2)^(n2/30), onde n2 é o prazo em dias

VL2 = 32.000 / (1 + 0,04)^(38/30)

VL2 = 32.000 / (1 + 0,04)^(1,27)

VL2 ≈ 30.356,55

Agora, somamos os valores líquidos das duas duplicatas para encontrar o valor líquido total:

Valor Líquido Total = VL1 + VL2

Valor Líquido Total ≈ 24.125,38 + 30.356,55

Valor Líquido Total ≈ $54.482,93

b) Prazo Médio do Borderô:

Para calcular o prazo médio do borderô, usamos a seguinte fórmula:

Prazo Médio = (n1 * VL1 + n2 * VL2) / (VL1 + VL2)

Onde:

n1 = 18 dias

VL1 ≈ 24.125,38

n2 = 38 dias

VL2 ≈ 30.356,55

Prazo Médio = (18 * 24.125,38 + 38 * 30.356,55) / (24.125,38 + 30.356,55)

Prazo Médio ≈ (435.258,84 + 1.155.007,9) / 54.482,93

Prazo Médio ≈ 19,74 dias (aproximadamente)

c) Taxa Constante de Desconto para o Valor Líquido Total:

Agora, vamos encontrar a taxa constante de desconto que nos daria o mesmo valor líquido total de $54.482,93. Para isso, usamos a seguinte fórmula:

VL Total = VN Total / (1 + Taxa Constante)^(Prazo Médio / 30)

Onde:

VL Total = $54.482,93

VN Total = VN1 + VN2 = $25.000,00 + $32.000,00 = $57.000,00

Prazo Médio ≈ 19,74 dias

Agora, resolvemos a equação para encontrar a taxa constante:

54.482,93 = 57.000 / (1 + Taxa Constante)^(19,74 / 30)

Dividindo ambos os lados da equação por $57.000, obtemos:

0,9541 = 1 / (1 + Taxa Constante)^(19,74 / 30)

Agora, isole a taxa constante:

(1 + Taxa Constante)^(19,74 / 30) = 1 / 0,9541

Eleve ambos os lados à potência (30/19,74):

1 + Taxa Constante = (1 / 0,9541)^(30/19,74)

Agora, subtraia 1 dos dois lados:

Taxa Constante = (1 / 0,9541)^(30/19,74) - 1

Calcule o valor:

Taxa Constante ≈ 0,0563 ou 5,63% ao mês

Portanto, a taxa constante de desconto necessária para obter o mesmo valor líquido do borderô é aproximadamente 5,63% ao mês