Duas cascas cilíndricas, concêntricas, condutoras e infinitamente longas têm raios internos e externos dados respectivamente por ri = a e re = 3a, ...

(a) Para obter as densidades lineares de carga nas superfícies internas e externas das cascas, podemos utilizar a lei de Gauss. Como as cascas são condutoras, o campo elétrico dentro delas é nulo. Portanto, podemos considerar uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r, com r < a, para a casca menor, e outra superfície gaussiana cilíndrica de raio r, com a < r < 5a, para a casca maior. A carga líquida dentro da superfície gaussiana da casca menor é -2λ, enquanto que a carga líquida dentro da superfície gaussiana da casca maior é 3λ. Pela lei de Gauss, temos que o fluxo elétrico através de cada superfície gaussiana é dado por Φ = Qenc/ε0, onde Qenc é a carga líquida dentro da superfície gaussiana e ε0 é a constante elétrica do vácuo. Como o campo elétrico dentro das cascas é nulo, temos que o fluxo elétrico através das superfícies gaussianas é dado por Φ = 0. Portanto, a carga líquida dentro de cada superfície gaussiana é nula. Como as cascas são condutoras, a carga líquida deve estar distribuída uniformemente em suas superfícies. Assim, temos que a densidade linear de carga na superfície interna da casca menor é -2λ/(2πa) e na superfície externa da casca menor é zero. Já na casca maior, a densidade linear de carga na superfície interna é zero e na superfície externa é 3λ/(2πa). (b) Para obter o vetor campo elétrico em função da distância até o fio central, podemos utilizar a lei de Gauss novamente. Considerando uma superfície gaussiana esférica de raio r, com r > 7a, temos que a carga líquida dentro da superfície gaussiana é zero. Pela lei de Gauss, temos que o fluxo elétrico através da superfície gaussiana é dado por Φ = Qenc/ε0, onde Qenc é a carga líquida dentro da superfície gaussiana e ε0 é a constante elétrica do vácuo. Como o campo elétrico é radial, temos que o fluxo elétrico através da superfície gaussiana é dado por Φ = E(r)4πr². Portanto, temos que E(r)4πr² = 0, o que implica que o campo elétrico é nulo para r > 7a. Para 5a < r < 7a, podemos considerar uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r, com r < 7a, e aplicar a lei de Gauss novamente. Como o campo elétrico é radial, temos que o fluxo elétrico através da superfície gaussiana é dado por Φ = E(r)2πrL, onde L é o comprimento da superfície gaussiana. A carga líquida dentro da superfície gaussiana é dada pela diferença entre a carga líquida na casca maior e a carga líquida no fio, ou seja, 3λ - (-3λ) = 6λ. Portanto, temos que E(r)2πrL = 6λ/ε0, o que implica que E(r) = 3λ/(2πε0r) para 5a < r < 7a. Para a < r < 5a, podemos considerar uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r, com r > a, e aplicar a lei de Gauss novamente. A carga líquida dentro da superfície gaussiana é dada pela diferença entre a carga líquida na casca maior e a carga líquida na casca menor, ou seja, 3λ - (-2λ) = 5λ. Portanto, temos que E(r)2πrL = 5λ/ε0, o que implica que E(r) = 5λ/(2πε0r) para a < r < 5a. Para r < a, o campo elétrico é nulo.