Encontre o valor da integral dada usando o teorema fundamental \int_0^{\sqrt{2}} \mathrm{x}\left(\mathrm{x}^2-1\right)^6 \mathrm{dx}

Para resolver essa integral, podemos usar a substituição trigonométrica. Fazendo a substituição x = sec(u), temos: dx = sec(u)tan(u)du x^2 - 1 = sec^2(u) - 1 = tan^2(u) Substituindo na integral, temos: ∫(0 até √2) x(x^2 - 1)^6 dx = ∫(0 até π/4) sec(u)tan(u)[tan^2(u)]^6 du = ∫(0 até π/4) sec(u)tan^13(u) du Agora, podemos usar a fórmula de redução para integrar a função: ∫ sec^n(u) du = (1/(n-1)) sec(u)tan(u)^(n-1) + (n-2)/(n-1) ∫ sec^(n-2)(u) du Aplicando essa fórmula com n = 13, temos: ∫(0 até π/4) sec(u)tan^13(u) du = (1/12) sec(u)tan^12(u) + (11/12) ∫ sec^11(u) du = (1/12) sec(u)tan^12(u) + (11/12) [(1/10) sec(u)tan^10(u) + (9/10) ∫ sec^9(u) du] = (1/12) sec(u)tan^12(u) + (11/120) sec(u)tan^10(u) + (99/120) ∫ sec^9(u) du Continuando a integração por partes, temos: ∫ sec^9(u) du = (1/8) sec^7(u)tan(u) + (7/8) ∫ sec^7(u) du ∫ sec^7(u) du = (1/6) sec^5(u)tan(u) + (5/6) ∫ sec^5(u) du ∫ sec^5(u) du = (1/4) sec^3(u)tan(u) + (3/4) ∫ sec^3(u) du ∫ sec^3(u) du = (1/2) sec(u)tan(u) + (1/2) ∫ sec(u) du ∫ sec(u) du = ln|sec(u) + tan(u)| Substituindo de volta, temos: ∫(0 até π/4) sec(u)tan^13(u) du = (1/12) sec(u)tan^12(u) + (11/120) sec(u)tan^10(u) + (99/960) sec^9(u)tan(u) + (33/320) sec^7(u)tan(u) + (55/192) sec^5(u)tan(u) + (15/32) sec^3(u)tan(u) + (1/2) ln|sec(u) + tan(u)| Agora, basta substituir u = arccos(x/√2) e simplificar a expressão para obter o valor da integral.