Calcule as integrais: (a) ∫ sin x / (1− sin^2 x) dx (b) ∫ 1 / (x sin 2x) dx. a) ln|csc(x) + cot(x)| + C b) ln|tan(x)| - 1/2 ln|sec(x) + tan(x)| +...

a) Para resolver essa integral, podemos fazer a substituição trigonométrica u = cos(x). Então, temos du = -sin(x) dx e sin^2(x) = 1 - cos^2(x) = 1 - u^2. Substituindo na integral, temos: ∫ sin(x) / (1 - sin^2(x)) dx = -∫ du / (1 - u^2) = -1/2 ln| (1+u)/(1-u) | + C = -1/2 ln| (1+cos(x))/(1-cos(x)) | + C = ln| csc(x) + cot(x) | + C b) Para resolver essa integral, podemos fazer a substituição trigonométrica u = 2x. Então, temos du = 2 dx e sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) = u/2 * √(1 - (u/2)^2). Substituindo na integral, temos: ∫ 1 / (x sin(2x)) dx = 1/2 ∫ du / (u sin(u/2)) = ln| tan(x) | - 1/2 ln| sec(x) + tan(x) | + C Portanto, a alternativa correta é a letra b).