Suponha que o lucro de uma indústria de embalagens descartáveis para refeições seja dado pela função: f(x) = -0,00002x³ + 0,1x² – x – 2 em que x ...

Analisando as afirmações: I. O ponto x = 0 corresponde a um zero ou raiz da função f(x). Para verificar se essa afirmação é verdadeira, basta substituir x = 0 na função f(x) e verificar se o resultado é igual a zero. f(0) = -0,00002(0)³ + 0,1(0)² – 0 – 2 = -2 Portanto, a afirmação I é falsa. II. O ponto x = 2000 consiste em um valor máximo local da função. Para verificar se essa afirmação é verdadeira, podemos calcular a derivada da função f(x) e verificar onde ela se anula. f(x) = -0,00002x³ + 0,1x² – x – 2 f'(x) = -0,00006x² + 0,2x - 1 Igualando a derivada a zero: -0,00006x² + 0,2x - 1 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos duas raízes: x = 1666,67 e x = 8333,33 Como a derivada é negativa para valores menores que 1666,67 e positiva para valores maiores que 1666,67, concluímos que x = 1666,67 é um ponto de máximo local da função. Portanto, a afirmação II é verdadeira. III. O ponto x = 0 corresponde a um valor mínimo local da função. Como já verificamos na afirmação I que x = 0 não é um zero da função, podemos afirmar que não é um ponto de mínimo local da função. Portanto, a afirmação III é falsa. IV. A função não admite máximos e mínimos locais em seu domínio. Como já verificamos na afirmação II que a função possui um ponto de máximo local, podemos afirmar que a afirmação IV é falsa. Assim, a alternativa correta é a letra b) I e III.