Calcule a integral ∫C x√ydx+ 2y√xdy onde C consiste na metade superior da circunferência x2 + y2 = 1 e no segmento de reta de (1, 0) a (4, 3).

Para calcular essa integral, podemos dividir a curva C em duas partes: a metade superior da circunferência e o segmento de reta. Começando pela metade superior da circunferência, podemos parametrizá-la como x = cos(t) e y = sen(t), onde t varia de 0 a π. Então, temos: ∫(metade superior da circunferência) x√ydx+ 2y√xdy = ∫(0 até π) cos(t)√sen(t)(-sen(t)dt) + 2sen(t)√cos(t)(cos(t)dt) = ∫(0 até π) -cos(t)sen(t)√sen(t)dt + 2sen(t)cos(t)√cos(t)dt Podemos simplificar a primeira integral usando a substituição u = sen(t), du = cos(t)dt: ∫(0 até π) -cos(t)sen(t)√sen(t)dt = -∫(0 até 1) u√udu = -2/5 u^(5/2) de 0 até 1 = -2/5 Para a segunda integral, podemos usar a substituição v = cos(t), dv = -sen(t)dt: ∫(0 até π) 2sen(t)cos(t)√cos(t)dt = 2∫(1 até 0) v√dv = 2/3 v^(3/2) de 1 até 0 = 2/3 Agora, para o segmento de reta, podemos parametrizá-lo como x = t e y = (3/4)t, onde t varia de 1 a 4. Então, temos: ∫(segmento de reta) x√ydx+ 2y√xdy = ∫(1 até 4) t√(3/4)t dt + 2(3/4)t√t dt = (3/4)∫(1 até 4) t^(3/2)dt + (3/2)∫(1 até 4) t^(3/2)dt = (15/8)t^(5/2) de 1 até 4 + (9/4)t^(5/2) de 1 até 4 = (15/8)(102-1) + (9/4)(102-1) = 765/4 Somando as duas integrais, temos: ∫C x√ydx+ 2y√xdy = -2/5 + 2/3 + 765/4 = 959/15 Portanto, a resposta é 959/15.