Exercício 17. Demostre as seguintes afirmações sobre sequências de números reais. a) xn → 0 se |x| < 1 e diverge se |x| > 1. b) Se sn → 0 e {cn} ...

a) Para demonstrar que xn → 0 se |x| < 1, podemos usar o critério de comparação com uma progressão geométrica. Se |x| < 1, então podemos escolher um número real positivo q tal que |x| < q < 1. Assim, temos que |xn| = |xⁿ| ≤ qⁿ para todo n natural. Como qⁿ → 0 quando n → ∞, então xn → 0. Por outro lado, se |x| > 1, podemos escolher um número real positivo q tal que 1 < q < |x|. Assim, temos que |xn| = |xⁿ| ≥ qⁿ para todo n natural. Como qⁿ → ∞ quando n → ∞, então xn diverge. b) Para demonstrar que {cnsn} → 0, podemos usar o critério de Cauchy. Como sn → 0, então para todo ε > 0, existe um número natural N tal que |sn| < ε/|cn| para todo n > N. Assim, temos que |cnsn| = |cn||sn| < ε para todo n > N, o que implica que {cnsn} → 0. c) Para demonstrar que xn/n! → 0 para todo x ∈ R, podemos usar a definição de limite. Dado ε > 0, precisamos encontrar um número natural N tal que |xn/n!| < ε para todo n > N. Podemos escolher N = ⌈|x|⌉, onde ⌈·⌉ denota o teto de um número real. Assim, temos que |xn/n!| ≤ |x|ⁿ/n! ≤ (⌈|x|⌉)ⁿ/n! para todo n > N. Como (⌈|x|⌉)ⁿ/n! → 0 quando n → ∞, então xn/n! → 0. d) Para demonstrar que an → 0, podemos usar o critério de comparação com uma progressão geométrica. Temos que 0 ≤ an ≤ √n² = n para todo n natural. Como n → ∞ quando n → ∞, então an → 0.