Seja m um inteiro positivo. Se a ≡ b (mod m) e c ≡ d (mod m), então a + c ≡ b + d (mod m) e a.c ≡ b.d (mod m). Qual é a prova desse teorema? Se a ...
Seja m um inteiro positivo. Se a ≡ b (mod m) e c ≡ d (mod m), então a + c ≡ b + d (mod m) e a.c ≡ b.d (mod m). Qual é a prova desse teorema?
Se a ≡ b (mod m), então m | (a - b).
Se c ≡ d (mod m), então m | (c - d).
Se m | (a - b) e m | (c - d), então m | (a + c - b - d) e m | (a.c - b.d).
Se m | (a + c - b - d) e m | (a.c - b.d), então a + c ≡ b + d (mod m) e a.c ≡ b.d (mod m).
Se a ≡ b (mod m), então m | (a - b).
Se c ≡ d (mod m), então m | (c - d).
Se m | (a - b) e m | (c - d), então m | (a + c - b - d) e m | (a.c - b.d).
Se m | (a + c - b - d) e m | (a.c - b.d), então a + c ≡ b + d (mod m) e a.c ≡ b.d (mod m).
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💡 1 Resposta
Ed 
A prova desse teorema pode ser feita da seguinte maneira: Se a ≡ b (mod m), então m | (a - b). Se c ≡ d (mod m), então m | (c - d). Assim, podemos escrever a = b + km e c = d + jm, onde k e j são inteiros quaisquer. Então, a + c = b + km + d + jm = b + d + m(k + j), e b + d é um inteiro qualquer. Como m | (a - b) e m | (c - d), temos que m | (a + c - b - d), ou seja, a + c ≡ b + d (mod m). Além disso, a.c = (b + km)(d + jm) = bd + kdm + bjn + kjm², e bd é um inteiro qualquer. Como m | (a - b) e m | (c - d), temos que m | (a.c - b.d), ou seja, a.c ≡ b.d (mod m). Portanto, concluímos que se a ≡ b (mod m) e c ≡ d (mod m), então a + c ≡ b + d (mod m) e a.c ≡ b.d (mod m).
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