a) Para mostrar que o número 3 é raiz de P(x) para todo número real k, basta substituir x = 3 na expressão de P(x) e verificar se o resultado é igual a zero: P(3) = 3² + (k-3)3 + (2-k)3 - (6+6k) P(3) = 9 + 3k - 9 + 6 - 3k - 6 - 6k P(3) = 0 Portanto, 3 é raiz de P(x) para todo número real k. b) Para determinar todos os valores de k para os quais as raízes de P(x) sejam todas reais, é necessário analisar o discriminante da equação quadrática resultante da fatoração de P(x): P(x) = (x - 3)(x² + (k-4)x + 2(3-k)) O discriminante da equação quadrática é: Δ = (k-4)² - 4(2-k) Para que as raízes sejam reais, Δ deve ser maior ou igual a zero: Δ ≥ 0 (k-4)² - 4(2-k) ≥ 0 k² - 12k + 16 ≥ 0 (k - 8)(k - 2) ≥ 0 Portanto, as raízes de P(x) serão todas reais se k ≤ 2 ou k ≥ 8.