Como um dos tópicos da unidade II da disciplina de Métodos Matemáticos Aplicados à Física, aprendemos a encontrar a solução de equações diferenciai...

Para resolver a equação diferencial (x - 3) dx + (2 y - 5) dy = 0, siga os seguintes passos: 1. Verifique se a equação é exata, ou seja, se a derivada parcial de (x - 3) em relação a y é igual à derivada parcial de (2 y - 5) em relação a x. Neste caso, temos: ∂(x - 3)/∂y = 0 ∂(2y - 5)/∂x = 2 Como as derivadas parciais não são iguais, a equação não é exata. 2. Multiplique toda a equação por um fator integrante μ(x, y), que é uma função que torna a equação exata. O fator integrante pode ser encontrado pela fórmula: μ(x, y) = e^(∫(M_y - N_x)/N dx) Onde M é o coeficiente de dx e N é o coeficiente de dy. Neste caso, temos M = x - 3 e N = 2y - 5. Portanto: μ(x, y) = e^(∫(M_y - N_x)/N dx) = e^(∫(1 - 0)/2 dx) = e^(x/2) Multiplicando a equação diferencial por μ(x, y), obtemos: e^(x/2) (x - 3) dx + e^(x/2) (2y - 5) dy = 0 3. Verifique se a equação é exata após a multiplicação por μ(x, y). Neste caso, temos: ∂(e^(x/2) (x - 3))/∂y = e^(x/2) (0) ∂(e^(x/2) (2y - 5))/∂x = e^(x/2) (2) Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata. 4. Encontre a função potencial φ(x, y) tal que: ∂φ/∂x = e^(x/2) (x - 3) ∂φ/∂y = e^(x/2) (2y - 5) Integrando a primeira equação em relação a x, obtemos: φ(x, y) = ∫e^(x/2) (x - 3) dx = 2e^(x/2) (x - 5) + C(y) Onde C(y) é uma constante de integração que depende apenas de y. Derivando φ(x, y) em relação a y e igualando a e^(x/2) (2y - 5), obtemos: ∂φ/∂y = 2e^(x/2) C'(y) = e^(x/2) (2y - 5) Portanto, temos C'(y) = y - 5/2. Integrando em relação a y, obtemos: C(y) = ∫(y - 5/2) dy = (1/2) y^2 - (5/2) y + K Onde K é uma constante de integração. Substituindo C(y) na expressão para φ(x, y), obtemos: φ(x, y) = 2e^(x/2) (x - 5) + (1/2) y^2 - (5/2) y + K 5. Encontre a solução geral da equação diferencial original. Para isso, basta igualar φ(x, y) a uma constante C: 2e^(x/2) (x - 5) + (1/2) y^2 - (5/2) y + K = C Esta é a solução geral da equação diferencial.