Nas questões (1), (2) e (3) considere as funções ????(????) = ????3 + ????2 − ???? + 2 e ????(????) = 1+ √????2−1 ????(????). Questão 1 [1,0 pt]: Fatore em ℝ o polinôm...
Fatore em ℝ o polinômio ????(????) = ????3 + ????2 − ???? + 2
Encontre o domínio da função ????(????)
Estude o sinal da função ???? = ????(????)
A questão 1 exige que o aluno fatorize o polinômio ????(????) em ℝ, apresentando as contas que o levaram à fatoração apresentada.
A questão 2 exige que o aluno encontre o domínio da função ????(????) e justifique sua resposta, representando o domínio na forma de união de pontos ou na forma de união de intervalos disjuntos.
A questão 3 exige que o aluno estude o sinal da função ???? = ????(????), isto é, responda para que valores reais de ????, ????(????) = 0, ????(????) > 0 e ????(????) < 0, utilizando a fatoração do polinômio ????(????) encontrada na questão 1.
💡 1 Resposta
Ed 
Questão 1: Para fatorar o polinômio ????3 + ????2 − ???? + 2, precisamos encontrar suas raízes. Podemos tentar encontrar uma raiz racional utilizando o Teorema de D'Alembert. Testando as possibilidades de raízes racionais, encontramos que -1 é uma raiz. Dividindo o polinômio por (???? + 1), obtemos (???? + 1)(????2 + ???? - 1). As outras duas raízes são obtidas resolvendo a equação do segundo grau ????2 + ???? - 1 = 0, que são ???? = (-1 ± √5)/2. Portanto, a fatoração em ℝ do polinômio é: ????3 + ????2 − ???? + 2 = (???? + 1)(???? - (-1 + √5)/2)(???? - (-1 - √5)/2). Questão 2: Para encontrar o domínio da função ???? = 1+ √(????2−1) ???? , precisamos observar que a raiz quadrada só está definida para valores de ???? que tornam o radicando não negativo, ou seja, ????2 - 1 ≥ 0. Isso implica que ???? ≤ -1 ou ???? ≥ 1. Portanto, o domínio da função é o conjunto de todos os números reais tais que ???? ≤ -1 ou ???? ≥ 1, ou seja, (-∞, -1] ∪ [1, +∞). Questão 3: Utilizando a fatoração encontrada na questão 1, podemos estudar o sinal da função ???? = ????3 + ????2 − ???? + 2. Para isso, precisamos analisar o sinal de cada um dos fatores. O fator (???? + 1) é positivo para ???? > -1 e negativo para ???? < -1. O fator (???? - (-1 + √5)/2) é positivo para ???? > (-1 + √5)/2 e negativo para ???? < (-1 + √5)/2. O fator (???? - (-1 - √5)/2) é positivo para ???? > (-1 - √5)/2 e negativo para ???? < (-1 - √5)/2. Portanto, a função ???? = ????3 + ????2 − ???? + 2 é positiva para ???? > (-1 + √5)/2, negativa para (-1 - √5)/2 < ???? < -1 e positiva para ???? < (-1 - √5)/2. A função se anula em ???? = -1.
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