A figura abaixo representa um triângulo ABC, com AB=5, BE=y, EC=4, CF=x e AF=6−x. O ponto D é incentro do triângulo ABC. O valor de x + y é: a) 7...

Para encontrar o valor de x + y, precisamos usar a propriedade do incentro, que diz que a distância do incentro até um lado é igual à distância do incentro até o outro lado adjacente. Assim, temos que: BD = CD = s - 5, onde s é o semiperímetro do triângulo ABC. Também podemos usar a fórmula da área do triângulo ABC, que é: Área ABC = s.r, onde r é o raio da circunferência inscrita. Podemos calcular a área ABC de duas maneiras: Área ABC = Área ABD + Área ACD + Área BED + Área CEF Área ABC = (5y/2) + (4x/2) + (6-x)(s-5)/2 + (s-5)(s-x-4)/2 Igualando as duas expressões para a área ABC, temos: (5y/2) + (4x/2) + (6-x)(s-5)/2 + (s-5)(s-x-4)/2 = s.r Substituindo s = (5+y+4+x)/2 = (9+x+y)/2, temos: (5y/2) + (2x+6)(1-x-y/9)/2 + (1-x-y/9)(-x-y/9)/2 = r(9+x+y)/2 Simplificando, temos: 5y + 18 - 2x^2 - 2xy - 6x + xy + x^2 + y^2/81 + xy/9 + y^2/81 = r(9+x+y) Substituindo r = Área ABC/s, temos: r = (5y/2) + (4x/2) + (6-x)(s-5)/2 + (s-5)(s-x-4)/2 / s r = (5y/2) + (2x+6)(1-x-y/9)/2 + (1-x-y/9)(-x-y/9)/2 / (9+x+y)/2 r = (5y/2) + (2x+6)(1-x-y/9)/2 + (1-x-y/9)(-x-y/9)/2 * 2/(9+x+y) r = (5y/2) + (2x+6)(1-x-y/9)/2 + (1-x-y/9)(-x-y/9) * 2/(9+x+y) r = (5y/2) + (2x+6)(1-x-y/9)/2 - (x+y)(x+y-1)/(9+x+y) r = (5y/2) + x - x^2/9 - xy/9 - y^2/81 Agora, podemos usar a fórmula da área do triângulo ABC para encontrar r: Área ABC = sqrt(s(s-AB)(s-BE)(s-EC)(s-CF)) Área ABC = sqrt((9+x+y)/2 * (4+x-y)/2 * (5+y-x)/2 * (x+y-2)/2) Área ABC = sqrt((9+x+y)(4+x-y)(5+y-x)(x+y-2)/16) Área ABC = sqrt((9+x+y)(x+y-1)(y-x+4)(x+y-2)/16) Área ABC = sqrt((9+x+y)(x+y-1)(y-x+4)(x+y-2))/4 Igualando as duas expressões para a área ABC, temos: sqrt((9+x+y)(x+y-1)(y-x+4)(x+y-2))/4 = (5y/2) + x - x^2/9 - xy/9 - y^2/81 Elevando ambos os lados ao quadrado, temos: (9+x+y)(x+y-1)(y-x+4)(x+y-2) = 16(5y/2 + x - x^2/9 - xy/9 - y^2/81)^2 Expandindo e simplificando, temos: - 81x^4 + 648x^3 - 1629x^2 + 1458x - 405y^2 + 2916y - 2916 = 0 Podemos fatorar essa equação como: (3x^2 - 18x + 27)(-27x^2 + 162x - 243) - 405(y^2 - 4y + 4) = 0 (3(x-3)^2)(-27(x-3/2)^2) - 405(y-2)^2 = 0 Dividindo ambos os lados por -405 e simplificando, temos: (x-3)^2/4 - (x-3/2)^2/4 - (y-2)^2/9 = 1 Isso nos diz que o ponto D está na hipérbole de equação: (x-3)^2/2^2 - (y-2)^2/3^2 = 1 Podemos encontrar as coordenadas de D resolvendo o sistema: (x-3)^2/2^2 - (y-2)^2/3^2 = 1 y = (5x-6)/(3x-6) Substituindo a segunda equação na primeira, temos: (x-3)^2/2^2 - ((5x-6)/(3x-6)-2)^2/3^2 = 1 Resolvendo essa equação, encontramos duas soluções: x = 1/2 e y = 1/2, ou x = 9/2 e y = 5/2. Portanto, x + y = 1/2 + 5/2 = 3. A resposta correta é a letra A).