A função definida pela relação tem dois mínimos locais nos pontos e respectivamente. O valor de é Escolha uma: A. 23 B. 27 C. 18 D. 21 E. 20 φ ...

Para encontrar o valor de φ, precisamos utilizar o Teorema de Fermat, que diz que um ponto crítico de uma função é um mínimo local, se a segunda derivada da função nesse ponto for positiva, e é um máximo local, se a segunda derivada da função nesse ponto for negativa. Assim, derivando a função φ(x) e igualando a zero para encontrar os pontos críticos, temos: φ'(x) = -14x^2(t-96)e^(-7t) + 42x(t-96)e^(-7t) = 0 φ'(x) = 14x(t-96)e^(-7t)(3 - 2x) = 0 Portanto, temos dois pontos críticos: x = 3/2 e x = 0. Agora, para determinar se esses pontos são mínimos locais, precisamos calcular a segunda derivada da função φ(x): φ''(x) = -28x(t-96)e^(-7t) - 28(t-96)e^(-7t) + 84x(t-96)e^(-7t) φ''(x) = 28(t-96)e^(-7t)(2x - 3) Substituindo os pontos críticos na segunda derivada, temos: φ''(3/2) = 28(t-96)e^(-21/2) > 0 φ''(0) = -84(t-96) < 0 Portanto, x = 3/2 é um mínimo local e x = 0 é um máximo local. Assim, para encontrar o valor de φ, precisamos calcular o valor da função nos pontos críticos e compará-los: φ(3/2) = (t-96) * ∫(-10)^(3/2) 21x^2 - 7t^2e^(-7t) dt φ(3/2) = (t-96) * [(-7/2)(21(3/2)^2 - 7t^2)e^(-7t)]_(-10)^(3/2) φ(3/2) = (t-96) * [(-7/2)(94.5 - 7t^2)e^(-21/2) + 735] φ(0) = (t-96) * ∫(-10)^0 21x^2 - 7t^2e^(-7t) dt φ(0) = (t-96) * [(1/7)(21(0)^2 - 7t^2)e^(-7t)]_(-10)^0 φ(0) = (t-96) * [1 - (1/7)(7t^2 + 7)e^(-70)] Agora, igualando as duas expressões, temos: (t-96) * [(-7/2)(94.5 - 7t^2)e^(-21/2) + 735] = (t-96) * [1 - (1/7)(7t^2 + 7)e^(-70)] Simplificando, temos: (-7/2)(94.5 - 7t^2)e^(-21/2) + 735 = 1 - (1/7)(7t^2 + 7)e^(-70) (-7/2)(94.5 - 7t^2)e^(-21/2) + (1/7)(7t^2 + 7)e^(-70) = 734 Multiplicando ambos os lados por e^(21/2), temos: (-7/2)(94.5 - 7t^2) + (1/7)(7t^2 + 7)e^(-49/2) = 734e^(21/2) Simplificando, temos: -330.75 + 24.5t^2 + 1.001e^(-49/2) = 734e^(21/2) Isolando o termo com e^(-49/2), temos: 1.001e^(-49/2) = 734e^(21/2) + 330.75 - 24.5t^2 e^(-49/2) = (734e^(21/2) + 330.75 - 24.5t^2)/1.001 e^(-49/2) = 1.0005e^(49/2) + 329.4206 - 24.4755t^2 Tomando o logaritmo natural em ambos os lados, temos: -49/2 = ln(1.0005) + 49/2 - ln(329.4206 - 24.4755t^2) ln(329.4206 - 24.4755t^2) = 2ln(1.0005) 329.4206 - 24.4755t^2 = 1.0005^2 329.4206 - 24.4755t^2 = 1.001001 24.4755t^2 = 328.4196 t^2 = 13.422 t = ±√13.422 Como t é positivo, temos: t = √13.422 ≈ 3.66 Portanto, o valor de φ é aproximadamente 23 (alternativa A).