Se log2 ???? = ???? e log5 ???? = ????, então: a) 1/a + 1/b ≤ 1/2 b) 1/2 < 1/a + 1/b ≤ 1 c) 1 < 1/a + 1/b ≤ 3/2 d) 3/2 < 1/a + 1/b ≤ 2 e) 2 < 1/a + 1/b

Seja log2 x = a e log5 y = b. Então, temos que x = 2^a e y = 5^b. Assim, 1/a + 1/b = (b + a)/(ab) Como queremos encontrar uma desigualdade para 1/a + 1/b, vamos tentar encontrar uma desigualdade para b + a e outra para ab. Pela desigualdade aritmética e geométrica, temos que: b + a ≥ 2√(ab) Logo, 1/a + 1/b = (b + a)/(ab) ≥ 2√(ab)/(ab) = 2/√(ab) Agora, vamos encontrar uma desigualdade para ab: ab = (2^a)(5^b) Usando a desigualdade AM-GM novamente, temos que: √(ab) ≤ (2^a + 5^b)/2 Logo, 1/a + 1/b ≥ 2/[(2^a + 5^b)/2] = 4/(2^a + 5^b) Substituindo os valores de a e b, temos: 1/a + 1/b ≥ 4/(2^a + 5^b) = 4/(x + y) Agora, vamos analisar as alternativas: a) 1/a + 1/b ≤ 1/2 Não é verdade, pois 1/a + 1/b ≥ 4/(x + y) > 1/2. b) 1/2 < 1/a + 1/b ≤ 1 Não é verdade, pois 1/a + 1/b ≥ 4/(x + y) > 1. c) 1 < 1/a + 1/b ≤ 3/2 Não é verdade, pois 1/a + 1/b ≥ 4/(x + y) > 3/2. d) 3/2 < 1/a + 1/b ≤ 2 É verdade, pois 1/a + 1/b ≥ 4/(x + y) > 3/2 e 1/a + 1/b ≤ 4/2 = 2. e) 2 < 1/a + 1/b Não é verdade, pois 1/a + 1/b ≤ 2. Portanto, a alternativa correta é a letra d) 3/2 < 1/a + 1/b ≤ 2.