Exercício 58 – (FUVEST, 2018) O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro dessa circ...

Para calcular a área da região cinza, precisamos primeiro encontrar a área do setor circular e a área do triângulo ABD. Como a diagonal do quadrilátero é um diâmetro da circunferência, temos que o ângulo central correspondente ao setor circular é 180 graus. A área do setor circular é dada por (180/360) * pi * r^2, onde r é o raio da circunferência. Substituindo r = 1, temos: Area_setor = (180/360) * pi * 1^2 Area_setor = pi/2 Para encontrar a área do triângulo ABD, podemos usar a fórmula da área de um triângulo: Area_triângulo = (base * altura) / 2 Como o triângulo ABD é um triângulo isósceles, a base e a altura têm a mesma medida. Podemos encontrar a medida da base usando o teorema de Pitágoras: AB^2 = AD^2 + BD^2 AB^2 = 1^2 + 1^2 AB = sqrt(2) Portanto, a base do triângulo ABD tem medida sqrt(2). A altura do triângulo é a distância entre o ponto D e a reta AB. Como o triângulo é isósceles, essa altura divide a base ao meio, formando dois triângulos retângulos congruentes. Cada um desses triângulos tem hipotenusa igual a 1 e cateto oposto igual a sqrt(2)/2. Usando o teorema de Pitágoras, podemos encontrar a medida da altura: h^2 = 1^2 - (sqrt(2)/2)^2 h^2 = 1 - 1/2 h^2 = 1/2 h = sqrt(2)/2 Portanto, a altura do triângulo ABD tem medida sqrt(2)/2. A área do triângulo é: Area_triângulo = (sqrt(2) * sqrt(2)/2) / 2 Area_triângulo = 1/2 A área da região cinza é dada por: Area_região_cinza = Area_setor - Area_triângulo Area_região_cinza = pi/2 - 1/2 Area_região_cinza = (pi - 1) / 2 Portanto, a alternativa correta é a letra E) ???? − sen(2????)+sen(2????) / 2.