Considerando o universo V, resolva as inequações: a) (x2 2 1)(2x 2 1) _______________ 2x2 2 9 > 0 d) 2x ______ x2 2 1 > 1...

a) Para resolver a inequação, precisamos encontrar os valores de x que tornam a expressão positiva. Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de x que tornam a expressão igual a zero. Temos: (x^2 + 1)(2x + 1)/(2x^2 + 9) = 0 (x^2 + 1)(2x + 1) = 0 x^2 + 1 = 0 ou 2x + 1 = 0 x^2 = -1 ou x = -1/2 Como x^2 = -1 não tem solução real, temos apenas x = -1/2 como ponto crítico. Agora, vamos analisar o sinal da expressão em cada intervalo determinado por esse ponto crítico e pelas raízes do denominador (x = -3/√2 e x = 3/√2): Intervalo 1: (-∞, -3/√2) Escolhendo um valor qualquer nesse intervalo, por exemplo, x = -1, temos: (x^2 + 1)(2x + 1)/(2x^2 + 9) = (2)(-1/3)/(9/2) < 0 Portanto, a expressão é negativa nesse intervalo. Intervalo 2: (-3/√2, -1/2) Escolhendo um valor qualquer nesse intervalo, por exemplo, x = -2, temos: (x^2 + 1)(2x + 1)/(2x^2 + 9) = (5)(-5)/(13) < 0 Portanto, a expressão é positiva nesse intervalo. Intervalo 3: (-1/2, 3/√2) Escolhendo um valor qualquer nesse intervalo, por exemplo, x = 0, temos: (x^2 + 1)(2x + 1)/(2x^2 + 9) = (1)(1)/(9/2) > 0 Portanto, a expressão é positiva nesse intervalo. Intervalo 4: (3/√2, ∞) Escolhendo um valor qualquer nesse intervalo, por exemplo, x = 4, temos: (x^2 + 1)(2x + 1)/(2x^2 + 9) = (17)(9)/(41) > 0 Portanto, a expressão é positiva nesse intervalo. Assim, a solução da inequação é: (x^2 + 1)(2x + 1)/(2x^2 + 9) > 0 para x ∈ (-3/√2, -1/2) U (3/√2, ∞) d) Para resolver a inequação, vamos multiplicar ambos os lados por x^2 - 1, que é positivo para x ∈ (-∞, -1) U (1, ∞): 2x/(x^2 - 1) > 1/(x - 1) 2x/(x^2 - 1) - 1/(x - 1) > 0 (2x(x - 1) - (x^2 - 1))/(x^2 - 1)(x - 1) > 0 (2x^2 - 2x - x^2 + 1)/(x^2 - 1)(x - 1) > 0 (x^2 - 2x + 1)/(x^2 - 1)(x - 1) > 0 (x - 1)^2/(x - 1)(x + 1)(x - 1) > 0 (x - 1)/(x + 1) > 0 Agora, vamos analisar o sinal da expressão em cada intervalo determinado pelas raízes do denominador (x = -1, x = 1): Intervalo 1: (-∞, -1) Escolhendo um valor qualquer nesse intervalo, por exemplo, x = -2, temos: (x - 1)/(x + 1) > 0 (-3)/(-1) > 0 Portanto, a expressão é positiva nesse intervalo. Intervalo 2: (-1, 1) Escolhendo um valor qualquer nesse intervalo, por exemplo, x = 0, temos: (x - 1)/(x + 1) < 0 (-1)/(1) < 0 Portanto, a expressão é negativa nesse intervalo. Intervalo 3: (1, ∞) Escolhendo um valor qualquer nesse intervalo, por exemplo, x = 2, temos: (x - 1)/(x + 1) > 0 (1)/(3) > 0 Portanto, a expressão é positiva nesse intervalo. Assim, a solução da inequação é: 2x/(x^2 - 1) > 1/(x - 1) para x ∈ (-∞, -1) U (1, ∞)