Demonstração: Por simplicidade, vamos escrever ( )T a ABC= . Pelo Teorema 8.6, sabemos que sen2bcT α= ⋅ , em que b, c e α são como na figura 167. D...

Demonstração: Por simplicidade, vamos escrever ( )T a ABC= . Pelo Teorema 8.6, sabemos que sen2bcT α= ⋅ , em que b, c e α são como na figura 167. Dessa última igualdade, segue que 22 4senT bcα= . Da relação trigonométrica fundamental (veja a aula 7) segue que 22 2 4cos1 sen1 T bcαα=−=−, ou seja, ( )22 4cos1 8.1T bcα=−. Ainda tomando como base a figura 167, seja m AP= e seja n PB= . Temos que cmn=+, isto é, ncm=−. Elevando ao quadrado, obtemos ( )222 8.2ncm=−+. O Teorema de Pitágoras, aplicado aos triângulos APC e BPC, fornece as igualdades 222cbmh=++ e 222canh=++. Eliminado ch dessas igualdades, obtemos 2222bmanc−=−, ou seja, 2222abnm+=−. Substituindo 2n pela expressão dada em ( )8.2, obtemos ( )2222a b c cm+=−. Observando o triângulo APC na figura 167, vemos que cosm bα=, logo cosm bα=⋅. Substituindo em ( )8.3, obtemos a identidade ( )22 2 2 2 4cosT b cabcααα=+−⋅. Essa igualdade é chamada lei dos cossenos. Ela pode ser vista como uma generalização do Teorema de Pitágoras (veja o exercício 3).

A lei dos cossenos é uma generalização do Teorema de Pitágoras.
A lei dos cossenos é uma generalização do Teorema de Tales.
A lei dos cossenos é uma generalização do Teorema de Euclides.
A lei dos cossenos é uma generalização do Teorema de Heron.
a) A lei dos cossenos é uma generalização do Teorema de Pitágoras.
b) A lei dos cossenos é uma generalização do Teorema de Tales.
c) A lei dos cossenos é uma generalização do Teorema de Euclides.
d) A lei dos cossenos é uma generalização do Teorema de Heron.