Considere o círculo rC de raio r. Dizemos que um polígono regular de n lados nQ é circunscrito ao C se cada um dos lados de nQ é tangente a rC. (a)...

(a) Para encontrar a área de um polígono regular de n lados circunscrito a um círculo de raio r, podemos dividir o polígono em n triângulos isósceles congruentes. Cada triângulo isósceles pode ser dividido em dois triângulos retângulos congruentes, onde o ângulo reto é metade do ângulo central do polígono. Assim, a base do triângulo retângulo é igual a metade do lado do polígono, ou seja, nL/2. A hipotenusa do triângulo retângulo é igual ao raio do círculo, r. Portanto, a altura do triângulo retângulo é dada por h = r * sen(π/n). A área de cada triângulo isósceles é dada por (nL/2) * h / 2. Como existem n triângulos isósceles, a área total do polígono é dada por n * (nL/2) * h / 2 = (nL^2 * r * sen(π/n)) / 2. Simplificando essa expressão, obtemos a área de nQ = (nL^2 * r * sen(π/n)) / 2. (b) Se nQ é circunscrito ao círculo rC, então o raio do círculo é igual à apótema do polígono, que é a distância do centro do círculo até o ponto médio de um dos lados do polígono. A apótema é dada por r * cos(π/n). Como o lado do polígono é nL, a área do polígono é dada por (nL * r * cos(π/n)) / 2. Usando a identidade trigonométrica sen(π/n) = cos(π/2 - π/n), podemos reescrever a expressão da área como (nL^2 * r * sen(π/n)) / 2, que é igual à expressão encontrada no item (a).